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# [分享] 二次曲面的有理参数表示

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x

$x = - \frac{{3{v^2} - 2v\alpha - {\alpha ^2} + {u^2}{\alpha ^2} - 4{v^2}\beta + {v^2}{\beta ^2} - 4{v^2}\alpha \gamma + 2uv{\alpha ^2}\gamma + 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}{{5{v^2} + 2v\alpha + {\alpha ^2} + {u^2}{\alpha ^2} - 4{v^2}\beta + {v^2}{\beta ^2} - 4{v^2}\alpha \gamma + 2uv{\alpha ^2}\gamma + 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$
$y = \frac{{2\alpha (v + \alpha )(u + v\gamma )}}{{5{v^2} + 2v\alpha + {\alpha ^2} + {u^2}{\alpha ^2} - 4{v^2}\beta + {v^2}{\beta ^2} - 4{v^2}\alpha \gamma + 2uv{\alpha ^2}\gamma + 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$
$z = - \frac{{2v(v + \alpha )( - 2 + \beta + \alpha \gamma )}}{{5{v^2} + 2v\alpha + {\alpha ^2} + {u^2}{\alpha ^2} - 4{v^2}\beta + {v^2}{\beta ^2} - 4{v^2}\alpha \gamma + 2uv{\alpha ^2}\gamma + 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$

$x = - \frac{{ - {v^2} - 10v\alpha + 8uv\alpha - 5{\alpha ^2} + 5{u^2}{\alpha ^2} - 4{v^2}\beta - 4uv\alpha \beta + {v^2}{\beta ^2} + 4{v^2}\alpha \gamma + 6uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}{{5{v^2} + 6v\alpha + 8uv\alpha + 5{\alpha ^2} + 5{u^2}{\alpha ^2} - 2{v^2}\beta + 2v\alpha \beta - 4uv\alpha \beta + {v^2}{\beta ^2} + 6{v^2}\alpha \gamma + 2v{\alpha ^2}\gamma + 6uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$
$y = \frac{{2(v + \alpha )(4v + 5u\alpha - 2v\beta + 3v\alpha \gamma )}}{{5{v^2} + 6v\alpha + 8uv\alpha + 5{\alpha ^2} + 5{u^2}{\alpha ^2} - 2{v^2}\beta + 2v\alpha \beta - 4uv\alpha \beta + {v^2}{\beta ^2} + 6{v^2}\alpha \gamma + 2v{\alpha ^2}\gamma + 6uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$
$z = \frac{{13{v^2} + 14v\alpha + 8uv\alpha + 5{\alpha ^2} + 5{u^2}{\alpha ^2} - 6{v^2}\beta - 2v\alpha \beta - 4uv\alpha \beta + {v^2}{\beta ^2} + 2{v^2}\alpha \gamma - 2v{\alpha ^2}\gamma + 6uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}{{5{v^2} + 6v\alpha + 8uv\alpha + 5{\alpha ^2} + 5{u^2}{\alpha ^2} - 2{v^2}\beta + 2v\alpha \beta - 4uv\alpha \beta + {v^2}{\beta ^2} + 6{v^2}\alpha \gamma + 2v{\alpha ^2}\gamma + 6uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 2{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$

$x = - \frac{{ - 8{v^2} - 8v\alpha - 4{\alpha ^2} + 4{u^2}{\alpha ^2} + 4{v^2}\beta - {v^2}{\beta ^2} + 4{v^2}\alpha \gamma + 8uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 3{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}{{8v\alpha + 4{\alpha ^2} + 4{u^2}{\alpha ^2} + 4{v^2}\beta - {v^2}{\beta ^2} + 4{v^2}\alpha \gamma + 8uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 3{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$
$y = \frac{{8\alpha (v + \alpha )(u + v\gamma )}}{{8v\alpha + 4{\alpha ^2} + 4{u^2}{\alpha ^2} + 4{v^2}\beta - {v^2}{\beta ^2} + 4{v^2}\alpha \gamma + 8uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 3{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$
$z = - \frac{{4v(v + \alpha )( - 2 + \beta + \alpha \gamma )}}{{8v\alpha + 4{\alpha ^2} + 4{u^2}{\alpha ^2} + 4{v^2}\beta - {v^2}{\beta ^2} + 4{v^2}\alpha \gamma + 8uv{\alpha ^2}\gamma - 2{v^2}\alpha \beta \gamma + 3{v^2}{\alpha ^2}{\gamma ^2}}}$

$x = - \frac{{ - 16 + 16{u^2} - 16v + 32uv + 11{v^2}}}{{16 + 16{u^2} + 16v + 32uv + 19{v^2}}}$
$y = \frac{{16(2 + v)(u + v)}}{{16 + 16{u^2} + 16v + 32uv + 19{v^2}}}$
$z = - \frac{{4v(2 + v)}}{{16 + 16{u^2} + 16v + 32uv + 19{v^2}}}$

Show[ListPlot3D[{{1,0,0},{0,1,0},{5/3,0,4/3},{-1,0,0}},Mesh->All,PlotStyle->{Red}],ParametricPlot3D[{-((-16+16 u^2-16 v+32 u v+11 v^2)/(16+16 u^2+16 v+32 u v+19 v^2)),(16 (2+v) (u+v))/(16+16 u^2+16 v+32 u v+19 v^2),-((4 v (2+v))/(16+16 u^2+16 v+32 u v+19 v^2))},{u,0,1},{v,1/2 (3-4 u)-Sqrt[27-40 u+16 u^2]/(2 Sqrt[3]),0},PlotStyle->{Green}],AspectRatio->1]

 问题是你怎么得到的?

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 请问为什么需要α，β 和 γ，不是已经有u, v, w 了吗？

### 点评

 我也相当好奇这个参数怎么来的？另外，希腊字母所代表的参数有什么作用？

### 点评

 随便一个多项式曲面，换成球坐标系表达，然后把三角函数 都换成 多形式方程，于是 就成了多项式方程组， 接下来的工作就是消元了。 消元的时候 是可以选择合适的GroebnerBasis ，产生新的参数，简化表达式，所以表达形式可以有上千种。 所以，关键的地方 我们如何选择合适的参数，使得参数的几何意义非常显著，做到了这点 那就功德无量了

### 点评

 公式太丑了，没有对称性！

### 点评

楼主| 发表于 2021-3-15 16:37:19 | 显示全部楼层
 本帖最后由 creasson 于 2021-3-15 16:39 编辑 这是计算机辅助几何设计(CAGD)中二次曲面的一个经典问题：一个物体的表面，可通过三角形剖分进行建模，对于剖分的小三角形，希望寻找一个光滑的低次曲面来近似原表面，并要求曲面在截面的边界有一阶连续(法向量方向一致). 如果曲面有参数表示，那么绘图会方便些，这是为什么寻求简单参数表示的原因。

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