关于三角形垂心的一个恒等式
本帖最后由 lihpb01 于 2021-4-23 21:31 编辑假设H为三角形A1A2A3的垂心并位于三角形的内部，
A1、A2、A3在对边的垂足分别为H1、H2、H3，、
则
。
这个恒等式显然成立，当该三角形为直角三角形的时候恒等式变成勾股定理，但这只是局限于锐角三角形和直角三角形。
假如H在三角形外部即原三角形为钝角三角形的时候，这个恒等式有没有其他变形。
反过来，假如在锐角三角形有这个恒等式成立，能否证明H就是三角形的垂心 如果A1是钝角，改成\(-A_1 H_1\cdot A_1 H\)
求证圆半径的一个恒等式
如图，AB为圆O的直径。
H1、H2在圆O上且位于AB的同侧。
BH1、AH2在圆O内交于H。
求证
AH·AH1+BH·BH2=AB2 反过来，假设该等式成立，能否证明AB为圆O直径。
假设AB不为直径，AH*AH1+BH*BH2和AB2哪边大哪边小，求证明
这么多勾股定理，尽可能的聚集表达式是大方向，所以得到如下解答：
\[\begin{split}AH·AH_1+ BH·BH_2&=(AH^2+AH·HH_1)+(BH^2+BH·HH_2)\\&=(AH^2+2AH·HH_1)+BH^2\color{red}{(*AH·HH_1=BH·HH_2*)}\\&=(AH_1^2- HH_1^2)+BH^2\\&=AH_1^2+BH_1^2\\&=AB^2\end{split}\]
自H作HC⊥AB，垂足为C， 则AH2HC共圆，BH1HC共圆，所以\[\begin{split}AH·AH_1=AC·AB，BH·BH_2=BC·AB，\\AH·AH_1+BH·BH_2=AC·AB+BC·AB=AB^2\end{split}\]
由此，假定AB不是直径，则可以在AB上分别取得点C1、C2，使得 AH·AH1=AC1·AB，BH·BH2=BC2·AB
若∠AH1B=∠AH1B＞90°, 则AC1+BC2＜AB，AH·AH1+BH·BH2=(AC1+BC2)·AB＜AB2
若∠AH1B=∠AH1B＜90°, 则AC1+BC2＞AB，AH·AH1+BH·BH2=(AC1+BC2)·AB＞AB2
所以，若AH·AH1+BH·BH2=AB2，可以得出AB为直径。
页:
[1]