关于三角形垂心的一个恒等式

lihpb01

假设H为三角形A₁A₂A₃的垂心并位于三角形的内部，
A₁、A₂、A₃在对边的垂足分别为H₁、H₂、H₃，、
则
。

这个恒等式显然成立，当该三角形为直角三角形的时候恒等式变成勾股定理，但这只是局限于锐角三角形和直角三角形。
假如H在三角形外部即原三角形为钝角三角形的时候，这个恒等式有没有其他变形。

lihpb01

反过来，假如在锐角三角形有这个恒等式成立，能否证明H就是三角形的垂心

chyanog

如果A1是钝角，改成\(-A_1 H_1\cdot A_1 H\)

lihpb01

如图，AB为圆O的直径。
H₁、H₂在圆O上且位于AB的同侧。
BH₁、AH₂在圆O内交于H。
求证
AH·AH₁+BH·BH₂=AB²

lihpb01

反过来，假设该等式成立，能否证明AB为圆O直径。
假设AB不为直径，AH*AH₁+BH*BH₂和AB²哪边大哪边小，求证明

wayne

这么多勾股定理，尽可能的聚集表达式是大方向，所以得到如下解答：
\[\begin{split}AH·AH_1+ BH·BH_2&=(AH^2+AH·HH_1)+(BH^2+BH·HH_2)\\&=(AH^2+2AH·HH_1)+BH^2\color{red}{(*AH·HH_1=BH·HH_2*)}\\&=(AH_1^2- HH_1^2)+BH^2\\&=AH_1^2+BH_1^2\\&=AB^2\end{split}\]

hujunhua

自H作HC⊥AB，垂足为C， 则AH₂HC共圆，BH₁HC共圆，所以\[\begin{split}AH·AH_1=AC·AB，BH·BH_2=BC·AB，\\AH·AH_1+BH·BH_2=AC·AB+BC·AB=AB^2\end{split}\]

由此，假定AB不是直径，则可以在AB上分别取得点C₁、C₂，使得 AH·AH₁=AC₁·AB，BH·BH₂=BC₂·AB
若∠AH₁B=∠AH₁B＞90°, 则AC₁+BC₂＜AB，AH·AH₁+BH·BH₂=(AC₁+BC₂)·AB＜AB²
若∠AH₁B=∠AH₁B＜90°, 则AC₁+BC₂＞AB，AH·AH₁+BH·BH₂=(AC₁+BC₂)·AB＞AB²
所以，若AH·AH₁+BH·BH₂=AB²，可以得出AB为直径。