论坛 › 难题征解 › 关于一个代数方程

数学星空 发表于 2009-9-24 18:28:41

呵,我们现在用的都是依赖于数学软件计算的结果,但若用手工计算此方法肯定行不通,一定要找到一个像处理k=1时的技巧(可惜此方法只能针对K=1的情形)...

wayne 发表于 2009-9-24 20:16:11

11# 数学星空
非也非也

mathe的那个偶八次方程很容易就可以手工消元得到的~~

数学星空 发表于 2009-9-24 20:27:27

要不你把演算过程写下来,我觉得没有这么容易....

wayne 发表于 2009-9-24 20:48:34

本帖最后由 wayne 于 2009-9-24 21:00 编辑

大致思路是这样的,不过中间过程可以讲究有一些技巧.

设$A=x^2+y^2,B=x*y$
则$A-kB=a^2$--------------------------------(1)
$(A+2z^2-b^2-c^2)^2=k^2z^2(A+2B)$----------------------------------(2)
联立 (1),(2),解得A,B关于z的表达式,代入$x^4-Ax^2+B^2=0$解得$x^2$关于z的表达式
再代入$(x^2+z^2-c^2)^2=k^2z^2x^2$化简一下,可得到"mathe方程"

数学星空 发表于 2009-9-25 08:10:58

本帖最后由 数学星空 于 2009-9-25 08:15 编辑

呵,14#方法不错...
其实有更直接的初等方法:
(x+k/2*y)^2+(1-k^2/4)*y^2=a^2
可以设x=a*sinA-k/2*y, y=a*cosA/sqrt(1-k^2/4)    .....(1)
又(x-y)*(x+y-k*z)=b^2-c^2
得z=1/k*(x+y-(b^2-c^2)/(x-y))                         ...........(2)
将(1)代入(2), 则可以得到x,y,z关于参数A 的表达式,然后代入
y^2+z^2+k*y*z=c^2(也可以选取第二个方程)
则可以得到关于A的方程并求出A,然后分别代入(1),(2),便可求得x,y,z

gxqcn 发表于 2009-9-25 08:15:07

不知那个关于A的三角方程是否好解？

数学星空 发表于 2009-9-25 08:18:35

呵呵,当然需要将三角方程转化为代数方程(可能也是四次方程)求解....
最终的结果(求解方程的根)都必须依赖于计算机,否则手工计算量将非常大

wayne 发表于 2009-9-27 10:55:41

这个方程还可等价于这样的几何题:

在三角形内部, 是否存在一点,使得该点对三角形各边的张角都为$\pi-arcCos\frac{k}{2}$.
某点对某边的张角是指 该点与该边的两端点构成三角形中该边的对角

如果存在,则对应楼主的方程有正数解.

wayne 发表于 2009-9-27 10:58:34

如果存在这样的点, 我们不妨称之为 "类费马点",:lol

gxqcn 发表于 2009-9-27 11:10:19

18# wayne

注意：当 $k!=1$ 时，三个张角之和无法满足正好等于圆周角 $360^@$。

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