关于一个代数方程

数学星空

呵,我们现在用的都是依赖于数学软件计算的结果,但若用手工计算此方法肯定行不通,一定要找到一个像处理k=1时的技巧(可惜此方法只能针对K=1的情形)...

wayne

11# 数学星空
非也非也

mathe的那个偶八次方程很容易就可以手工消元得到的~~

数学星空

要不你把演算过程写下来,我觉得没有这么容易....

wayne

大致思路是这样的,不过中间过程可以讲究有一些技巧.

设$A=x^2+y^2,B=x*y$
则$A-kB=a^2$  --------------------------------(1)
$(A+2z^2-b^2-c^2)^2=k^2z^2(A+2B)$----------------------------------(2)
联立 (1),(2),解得A,B关于z的表达式,代入$x^4-Ax^2+B^2=0$解得$x^2$关于z的表达式
再代入$(x^2+z^2-c^2)^2=k^2z^2x^2$化简一下,可得到"mathe方程"

数学星空

呵,14#方法不错...
其实有更直接的初等方法:
$(x+k/2*y)^2+(1-k^2/4)*y^2=a^2$  
可以设$x=a*sinA-k/2*y, y=a*cosA/sqrt(1-k^2/4)$    .....(1)
又$(x-y)*(x+y-k*z)=b^2-c^2$  
得$z=1/k*(x+y-(b^2-c^2)/(x-y))$                         ...........(2)
将(1)代入(2), 则可以得到x,y,z关于参数A 的表达式,然后代入
$y^2+z^2+k*y*z=c^2$  (也可以选取第二个方程)
则可以得到关于A的方程并求出A,然后分别代入(1),(2),便可求得x,y,z

gxqcn

不知那个关于A的三角方程是否好解？

数学星空

呵呵,当然需要将三角方程转化为代数方程(可能也是四次方程)求解....
最终的结果(求解方程的根)都必须依赖于计算机,否则手工计算量将非常大

wayne

这个方程还可等价于这样的几何题:

在三角形内部, 是否存在一点,使得该点对三角形各边的张角都为$\pi-arcCos\frac{k}{2}$.

某点对某边的张角是指 该点与该边的两端点构成三角形中该边的对角

如果存在,则对应楼主的方程有正数解.

wayne

如果存在这样的点, 我们不妨称之为 "类费马点",

gxqcn

18# wayne

注意：当 $k!=1$ 时，三个张角之和无法满足正好等于圆周角 $360^@$。