关于一个代数方程

数学星空

若已知a,b,c,k及方程组
$x^2+y^2+k*x*y=a^2$
$x^2+z^2+k*x*z=b^2$
$y^2+z^2+k*y*z=c^2$
如何求出x,y,z呢?
对于k=1可以通过构造三角形面积恒等的技巧,计算出x,y,z的解析解..

mathe

通过计算机计算,x满足多项式:
$(-k^6-6*k^5-9*k^4+8*k^3+24*k^2-16)*x^8+(c^2*k^7+(4*c^2+b^2+a^2)*k^6+(-c^2+7*b^2+7*a^2)*k^5+(-16*c^2+12*b^2+12*a^2)*k^4+(4*c^2-12*b^2-12*a^2)*k^3+(40*c^2-40*b^2-40*a^2)*k^2-32*c^2+32*b^2+32*a^2)*x^6+(((-b^2-a^2)*c^2-a^2*b^2)*k^6+(-2*c^4-2*b^4-6*a^2*b^2-2*a^4)*k^5+(-7*c^4+(10*b^2+10*a^2)*c^2-7*b^4-8*a^2*b^2-7*a^4)*k^4+(2*c^4+(-4*b^2-4*a^2)*c^2+2*b^4+20*a^2*b^2+2*a^4)*k^3+(22*c^4+(-44*b^2-44*a^2)*c^2+22*b^4+52*a^2*b^2+22*a^4)*k^2-24*c^4+(48*b^2+48*a^2)*c^2-24*b^4-48*a^2*b^2-24*a^4)*x^4+((a^2*b^2*c^2+a^2*b^4+a^4*b^2)*k^5+((b^2+a^2)*c^4+(-2*b^4-2*a^4)*c^2+b^6+3*a^2*b^4+3*a^4*b^2+a^6)*k^4+(c^6+(-b^2-a^2)*c^4+(-b^4+6*a^2*b^2-a^4)*c^2+b^6-5*a^2*b^4-5*a^4*b^2+a^6)*k^3+(4*c^6+(-12*b^2-12*a^2)*c^4+(12*b^4+32*a^2*b^2+12*a^4)*c^2-4*b^6-20*a^2*b^4-20*a^4*b^2-4*a^6)*k^2-8*c^6+(24*b^2+24*a^2)*c^4+(-24*b^4-48*a^2*b^2-24*a^4)*c^2+8*b^6+24*a^2*b^4+24*a^4*b^2+8*a^6)*x^2-a^4*b^4*k^4+(2*a^2*b^2*c^4+(-4*a^2*b^4-4*a^4*b^2)*c^2+2*a^2*b^6+4*a^4*b^4+2*a^6*b^2)*k^2-c^8+(4*b^2+4*a^2)*c^6+(-6*b^4-12*a^2*b^2-6*a^4)*c^4+(4*b^6+12*a^2*b^4+12*a^4*b^2+4*a^6)*c^2-b^8-4*a^2*b^6-6*a^4*b^4-4*a^6*b^2-a^8$

数学星空

注以下的a,b,c分别为题目中的$a^2,b^2,c^2$

(k^6-8*k^3-24*k^2+6*k^5+16+9*k^4)*x^8+(-4*b*k^3-32*c+a*(-32+40*k^2-k^6-12*k^4-7*k^5+12*k^3)+12*c*k^3-40*b*k^2-c*k^6+32*b-b*k^7+40*c*k^2-4*b*k^6+b*k^5-12*c*k^4-7*c*k^5+16*b*k^4)*x^6+(a^2*(24-22*k^2-2*k^3+7*k^4+2*k^5)-22*c^2*k^2+7*b^2*k^4-2*c^2*k^3+44*b*c*k^2+a*(44*b*k^2+4*b*k^3-52*c*k^2-48*b+8*c*k^4+b*k^6+48*c+6*c*k^5-20*c*k^3-10*b*k^4+c*k^6)-48*b*c+b*c*k^6+2*c^2*k^5+24*b^2+7*c^2*k^4-22*b^2*k^2+2*b^2*k^5+4*b*c*k^3-2*b^2*k^3+24*c^2-10*b*c*k^4)*x^4+(4*c^3*k^2-24*b^2*c+8*b^3-c^3*k^4+12*b^2*c*k^2+24*b*c^2+b^2*c*k^3-c^3*k^3-b^3*k^3+a*(-24*b^2+20*c^2*k^2-32*b*c*k^2-3*c^2*k^4+12*b^2*k^2+5*c^2*k^3-6*b*c*k^3+b^2*k^3-b^2*k^4-24*c^2-c^2*k^5-b*c*k^5+48*b*c)-4*b^3*k^2-12*b*c^2*k^2-8*c^3+a^2*(24*b-24*c-12*b*k^2+20*c*k^2+b*k^3+5*c*k^3+2*b*k^4-3*c*k^4-c*k^5)+b*c^2*k^3-b^2*c*k^4+2*b*c^2*k^4+a^3*(-8+4*k^2-k^3-k^4))*x^2+a*(12*b^2*c-2*b^2*c*k^2-2*c^3*k^2-12*b*c^2+4*c^3+4*b*c^2*k^2-4*b^3)-4*b^3*c+a^3*(-4*b+4*c-2*c*k^2)+6*b^2*c^2+a^2*(6*b^2-12*b*c+6*c^2+4*b*c*k^2-4*c^2*k^2+c^2*k^4)-4*b*c^3+b^4+a^4+c^4=0




(k^6-8*k^3-24*k^2+6*k^5+16+9*k^4)*y^8+(-40*c*k^2+40*b*k^2+16*c*k^4-4*c*k^3-c*k^7-7*b*k^5+a*(-32+40*k^2-k^6-12*k^4-7*k^5+12*k^3)-b*k^6+c*k^5-4*c*k^6+32*c+12*b*k^3-12*b*k^4-32*b)*y^6+(7*b^2*k^4+24*b^2+7*c^2*k^4-48*b*c-22*c^2*k^2-2*c^2*k^3-2*b^2*k^3+24*c^2+a^2*(24-22*k^2-2*k^3+7*k^4+2*k^5)+44*b*c*k^2+b*c*k^6+4*b*c*k^3+a*(4*c*k^3-20*b*k^3+8*b*k^4+6*b*k^5-10*c*k^4+c*k^6-52*b*k^2-48*c+b*k^6+48*b+44*c*k^2)+2*b^2*k^5-22*b^2*k^2-10*b*c*k^4+2*c^2*k^5)*y^4+(b*c^2*k^3-12*b^2*c*k^2+b^2*c*k^3+24*b^2*c-8*b^3+a^2*(-24*b+24*c+20*b*k^2-12*c*k^2+5*b*k^3+c*k^3-3*b*k^4+2*c*k^4-b*k^5)+12*b*c^2*k^2-b*c^2*k^4-24*b*c^2+a^3*(-8+4*k^2-k^3-k^4)+8*c^3+2*b^2*c*k^4-4*c^3*k^2+4*b^3*k^2+a*(c^2*k^3-6*b*c*k^3+20*b^2*k^2-b^2*k^5+5*b^2*k^3-b*c*k^5+48*b*c-24*b^2-24*c^2+12*c^2*k^2-32*b*c*k^2-3*b^2*k^4-c^2*k^4)-c^3*k^3-b^3*k^4-b^3*k^3)*y^2-4*b^3*c-4*b*c^3+6*b^2*c^2+a*(-12*b^2*c+4*b^2*c*k^2+4*b^3-2*b*c^2*k^2-4*c^3-2*b^3*k^2+12*b*c^2)+a^3*(4*b-4*c-2*b*k^2)+b^4+a^4+c^4+a^2*(6*b^2-12*b*c+6*c^2-4*b^2*k^2+4*b*c*k^2+b^2*k^4)=0



(k^6-8*k^3-24*k^2+6*k^5+16+9*k^4)*z^8+(-b*k^6-c*k^6-12*b*k^4+12*c*k^3-32*b+12*b*k^3-7*c*k^5-32*c-12*c*k^4+a*(32-4*k^3-40*k^2+k^5-k^7+16*k^4-4*k^6)+40*c*k^2-7*b*k^5+40*b*k^2)*z^6+(6*b*c*k^5-20*b*c*k^3+2*c^2*k^5+2*b^2*k^5+a*(-10*c*k^4-48*c+c*k^6-48*b+b*k^6+44*b*k^2-10*b*k^4+44*c*k^2+4*b*k^3+4*c*k^3)+8*b*c*k^4+24*b^2-2*c^2*k^3-2*b^2*k^3-52*b*c*k^2+b*c*k^6+7*c^2*k^4-22*b^2*k^2+24*c^2+48*b*c+7*b^2*k^4+a^2*(24-22*k^2-2*k^3+7*k^4+2*k^5)-22*c^2*k^2)*z^4+(-c^3*k^3+4*c^3*k^2-c^3*k^4-24*b^2*c-3*b*c^2*k^4+5*b*c^2*k^3+a*(-32*b*c*k^2-12*b^2*k^2+48*b*c+24*b^2-b*c*k^5+24*c^2-12*c^2*k^2+2*b^2*k^4+2*c^2*k^4-6*b*c*k^3+c^2*k^3+b^2*k^3)-b^3*k^4-8*c^3-b*c^2*k^5+20*b^2*c*k^2+a^2*(-24*b-24*c+12*b*k^2+12*c*k^2+b*k^3+c*k^3-b*k^4-c*k^4)-b^2*c*k^5-b^3*k^3+4*b^3*k^2-24*b*c^2-8*b^3+5*b^2*c*k^3+20*b*c^2*k^2+a^3*(8-4*k^2-k^3)-3*b^2*c*k^4)*z^2+4*b^3*c+4*b*c^3+6*b^2*c^2+b^4+a^3*(-4*b-4*c)+a*(4*b^2*c*k^2-12*b^2*c-4*b^3+4*b*c^2*k^2-4*c^3-12*b*c^2)+c^4+b^2*c^2*k^4-2*b*c^3*k^2-2*b^3*c*k^2-4*b^2*c^2*k^2+a^2*(6*b^2+12*b*c+6*c^2-2*b*c*k^2)+a^4=0

数学星空

其实此方程组的几何意义为:
已知四面体(顶点的)三条侧棱中相应两边的夹角均为$A=pi-arccos(k/2)$,底边三角形对应边为a,b,c 求三条侧棱x,y,z值?
当K为1时四面体退化为三角形.

数学星空

不知对怎样的K值可以利用初等的方法获得解析解哟?
显然k=1是满足的

wayne

我把结果解出来了。
只显示x的8个解，并打印成pdf，有1.56M.
167页，你要吗


mathe其实已经解出来了，我给一个分解了因式的形式：
$-(a^4+b^4+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (-2+k^2))^2$
$+(a^6 (-8+4 k^2+k^3)+a^4 (b^2+c^2) (24-12 k^2-k^3+k^4)+(b^2+c^2) (2+k) (b^4 (4-2 k-k^2+k^3)+c^4 (4-2 k-k^2+k^3)+b^2 c^2 (8-4 k-6 k^2+k^4))-a^2 (b^4 (24-12 k^2+k^3+2 k^4)+c^4 (24-12 k^2+k^3+2 k^4)-b^2 c^2 (-48+32 k^2+6 k^3+k^5))) z^2$
$-(2+k)^2 (a^4 (6-6 k-k^2+2 k^3)+b^4 (6-6 k-k^2+2 k^3)+c^4 (6-6 k-k^2+2 k^3)+a^2 (b^2+c^2) (-12+12 k+2 k^2-4 k^3+k^4)+b^2 c^2 (12-12 k-4 k^2+2 k^3+k^4)) z^4$
$+(-1+k) (2+k)^3 ((b^2+c^2) (-4+2 k+k^2)+a^2 (4-2 k-k^2+k^3)) z^6$
$-(-1+k)^2 (2+k)^4 z^8$

winxos

6# wayne
一看到这么庞大的解，我就眼晕，也实在不知道这个解有什么意义。。。

数学星空

呵呵,是可以求解出来,相当于解四次方程,不知有没有好的初等方法来解释3#的方程(对于解析解只需要借助MATHEMATICA  , MAPLE 均可求出),
即详细的推导步骤(由原方程组推出3#的结论)
比如对于k=-1,有谁能够写出具体的推导步骤...(可以不用写出解析解)

winxos

6# wayne
用matlab或者mathematica的符号运算应该可以直接解出来吧？

wayne

9# winxos
嗯是的。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
难道消元，解代数方程不是初等方法吗？

楼主意思是说用立体几何方法的方法做？