初中几何题，求矩形面积的最大值

mathematica 发表于 2021-5-7 08:08:29

看看如何用初中的办法解决。

mathematica 发表于 2021-5-7 08:11:52

本帖最后由 mathematica 于 2021-5-7 08:13 编辑

我假设两边长x与y，
然后根据余弦值的平方和等于1，列出约数条件，然后求目标函数xy的最大值，用拉格朗日乘子法。
Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
(*两个角(互余角)的余弦值的平方和等于1,合并同类项，然后只取分子，这样简化求导*)
xx=cs^2+cs^2-1//Together//Numerator
(*定义目标函数，拉格朗日乘子法*)
f=x*y+t*xx
(*求解偏导数，并且边长都要大于零*)
ans=Solve==0&&x>0&&y>0,{x,y,t}]//FullSimplify
(*带入求得目标函数值*)
(f/.ans)//FullSimplify
(*绘出约数函数的图像*)
h1=ContourPlot
(*绘制目标函数的图像*)
h2=ContourPlot[{
            x*y==2,
            x*y==6,
            x*y==10,
            x*y==14,
            x*y==18,
            x*y==22
            },{x,-7,7},{y,-7,7},ColorFunction->Hue];
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求解结果
\

\

解方程结果
\[\left\{\left\{x\to \sqrt{7}-\sqrt{2},y\to \sqrt{7}-\sqrt{2},t\to \frac{1}{72 \sqrt{14}-224}\right\},\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{7},y\to \sqrt{2}+\sqrt{7},t\to \frac{1}{-72 \sqrt{14}-224}\right\}\right\}\]

目标函数值
\[\left\{9-2 \sqrt{14},2 \sqrt{14}+9\right\}\]

绘制出蓝色的目标函数，红色的等高线

mathematica 发表于 2021-5-7 10:29:59

Clear["Global`*"];
(*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*四面体体积等于零，且满足勾股定理，且变量值都大于零*)
Maximize[{x*y,fun==0&&x^2+y^2==z^2&&x>0&&y>0&&z>0},{x,y,z}]//FullSimplify

Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
Maximize[{x*y,cs^2+cs^2==1&&x>0&&y>0},{x,y}]//FullSimplify

求解结果：
\[\left\{2 \sqrt{14}+9,\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{7},y\to \sqrt{2}+\sqrt{7},z\to \sqrt{14}+2\right\}\right\}\]

\[\left\{2 \sqrt{14}+9,\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{7},y\to \sqrt{2}+\sqrt{7}\right\}\right\}\]

王守恩 发表于 2021-5-7 12:39:24

本帖最后由王守恩于 2021-5-7 15:06 编辑

                  过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F,             x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(AF+FD)=(\sqrt{x}+\sqrt{5+x})(\sqrt{4-x}+\sqrt{9-x})\)
                                                                           \((\sqrt{x}+\sqrt{5+x})=(\sqrt{4-x}+\sqrt{9-x})\)
                                                                              \(\sqrt{x}=\sqrt{4-x}\ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{5+x}=\sqrt{9-x}\)

mathematica 发表于 2021-5-7 13:12:49

王守恩发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F, x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

你的方法也不错，不过求导数挺麻烦的

mathematica 发表于 2021-5-7 14:23:21

王守恩发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F, x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

其实从函数图像上看出来，边长相等的时候，取最大值最小值

mathematica 发表于 2021-5-8 08:30:30

王守恩发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F, x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

(*建立坐标系解析几何的办法解决问题，矩形的边长是a b 中间点(x,y)*)
Clear["Global`*"];
Maximize[{a*b,x^2+y^2==2^2&&x^2+(y-a)^2==3^2&&(x-b)^2+y^2==3^2&&a>0&&b>0},{a,b,x,y}]//FullSimplify

求解结果
\[\left\{2 \sqrt{14}+9,\left\{a\to \sqrt{2}+\sqrt{7},b\to \sqrt{2}+\sqrt{7},x\to \sqrt{2},y\to \sqrt{2}\right\}\right\}\]

mathematica 发表于 2021-5-8 08:45:43

王守恩发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F, x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

Clear["Global`*"];
f=(Sqrt+Sqrt)*(Sqrt+Sqrt)
ans=Solve==0,{x}](*求导数求出可能的极值点*)
(*带入求得目标函数值*)
(f/.ans)//FullSimplify

求解结果
\[\left(\sqrt{4-x}+\sqrt{9-x}\right) \left(\sqrt{x}+\sqrt{x+5}\right)\]

驻点
\[\{\{x\to 2\}\}\]

函数值
\[\left\{2 \sqrt{14}+9\right\}\]

yigo 发表于 2021-5-8 10:20:12

OA位于∠BOD的平分线上时，构成正方形，面积最大。

hujunhua 发表于 2021-5-8 13:18:54

初中的方法

首先有一个定理：OA2+OC2=OB2+OD2
由此可得 OC=√14
然后将AOD平移到下边，使AD与BC重合，记O点移到的位置为O'。
易知四边形BOCO'的面积=原矩形面积的1/2.
问题转化为求四边形BOCO'的最大面积。
由于四边形BOCO'的四边为定长2，3，√14，3，故当它内接于一个圆时面积最大。
这时它是一个等腰梯形，于是EB=EO'=√2, EO=EC=√7.
相应地，原矩形的最大面积为(√2+√7)2。

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初中的方法