初中几何题，求矩形面积的最大值

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看看如何用初中的办法解决。

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我假设两边长x与y，
然后根据余弦值的平方和等于1，列出约数条件，然后求目标函数xy的最大值，用拉格朗日乘子法。

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*两个角(互余角)的余弦值的平方和等于1,合并同类项，然后只取分子，这样简化求导*)
   
5. xx=cs[x,2,3]^2+cs[y,2,3]^2-1//Together//Numerator
   
6. (*定义目标函数，拉格朗日乘子法*)
   
7. f=x*y+t*xx
   
8. (*求解偏导数，并且边长都要大于零*)
   
9. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0&&x>0&&y>0,{x,y,t}]//FullSimplify
   
10. (*带入求得目标函数值*)
    
11. (f/.ans)//FullSimplify
    
12. (*绘出约数函数的图像*)
    
13. h1=ContourPlot[xx==0,{x,-7,7},{y,-7,7}]
    
14. (*绘制目标函数的图像*)
    
15. h2=ContourPlot[{
    
16.                 x*y==2,
    
17.                 x*y==6,
    
18.                 x*y==10,
    
19.                 x*y==14,
    
20.                 x*y==18,
    
21.                 x*y==22
    
22.                },{x,-7,7},{y,-7,7},ColorFunction->Hue];
    
23. Show[h1,h2]
    

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求解结果
\[x^4 y^2+x^2 y^4-36 x^2 y^2+25 x^2+25 y^2=0\]

\[t \left(x^4 y^2+x^2 y^4-36 x^2 y^2+25 x^2+25 y^2\right)+x y\]

解方程结果
\[\left\{\left\{x\to \sqrt{7}-\sqrt{2},y\to \sqrt{7}-\sqrt{2},t\to \frac{1}{72 \sqrt{14}-224}\right\},\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{7},y\to \sqrt{2}+\sqrt{7},t\to \frac{1}{-72 \sqrt{14}-224}\right\}\right\}\]

目标函数值
\[\left\{9-2 \sqrt{14},2 \sqrt{14}+9\right\}\]

绘制出蓝色的目标函数，红色的等高线

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1. Clear["Global`*"];
   
2. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
3. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
4. (*四面体体积等于零，且满足勾股定理，且变量值都大于零*)
   
5. Maximize[{x*y,fun[2,3,3,z,x,y]==0&&x^2+y^2==z^2&&x>0&&y>0&&z>0},{x,y,z}]//FullSimplify
   
6. 
   
7. Clear["Global`*"];
   
8. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
9. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
10. Maximize[{x*y,cs[x,2,3]^2+cs[y,2,3]^2==1&&x>0&&y>0},{x,y}]//FullSimplify
    

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求解结果：
\[\left\{2 \sqrt{14}+9,\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{7},y\to \sqrt{2}+\sqrt{7},z\to \sqrt{14}+2\right\}\right\}\]

\[\left\{2 \sqrt{14}+9,\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{7},y\to \sqrt{2}+\sqrt{7}\right\}\right\}\]

王守恩

                       过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F,               x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(AF+FD)=(\sqrt{x}+\sqrt{5+x})(\sqrt{4-x}+\sqrt{9-x})\)
                                                                                \((\sqrt{x}+\sqrt{5+x})=(\sqrt{4-x}+\sqrt{9-x})\)
                                                                                 \(\sqrt{x}=\sqrt{4-x}\ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{5+x}=\sqrt{9-x}\)

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王守恩 发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F,               x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

你的方法也不错，不过求导数挺麻烦的

mathematica

王守恩 发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F,               x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

其实从函数图像上看出来，边长相等的时候，取最大值最小值

mathematica

王守恩 发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F,               x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

1. (*建立坐标系解析几何的办法解决问题，矩形的边长是a b 中间点(x,y)*)
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. Maximize[{a*b,x^2+y^2==2^2&&x^2+(y-a)^2==3^2&&(x-b)^2+y^2==3^2&&a>0&&b>0},{a,b,x,y}]//FullSimplify
   

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求解结果
\[\left\{2 \sqrt{14}+9,\left\{a\to \sqrt{2}+\sqrt{7},b\to \sqrt{2}+\sqrt{7},x\to \sqrt{2},y\to \sqrt{2}\right\}\right\}\]

mathematica

王守恩 发表于 2021-5-7 12:39
过O作AB垂线于E，过O作AD垂线于F,               x=2
矩形面积\(=AB*AD=(AE+EB)(A ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. f=(Sqrt[x]+Sqrt[5+x])*(Sqrt[4-x]+Sqrt[9-x])
   
3. ans=Solve[D[f,{x}]==0,{x}](*求导数求出可能的极值点*)
   
4. (*带入求得目标函数值*)
   
5. (f/.ans)//FullSimplify
   

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求解结果
\[\left(\sqrt{4-x}+\sqrt{9-x}\right) \left(\sqrt{x}+\sqrt{x+5}\right)\]

驻点
\[\{\{x\to 2\}\}\]

函数值
\[\left\{2 \sqrt{14}+9\right\}\]

yigo

OA位于∠BOD的平分线上时，构成正方形，面积最大。

hujunhua

首先有一个定理：OA²+OC²=OB²+OD²
由此可得 OC=√14
然后将AOD平移到下边，使AD与BC重合，记O点移到的位置为O'。
易知四边形BOCO'的面积=原矩形面积的1/2.
问题转化为求四边形BOCO'的最大面积。
由于四边形BOCO'的四边为定长2，3，√14，3，故当它内接于一个圆时面积最大。
这时它是一个等腰梯形，于是EB=EO'=√2, EO=EC=√7.
相应地，原矩形的最大面积为(√2+√7)²。