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惜缘判官 发表于 2021-5-17 21:38:06

证明抛物线的互相垂直的切线交点的轨迹是其准线

如题，求证明抛物线的互相垂直的切线交点的轨迹是其准线

mathematica 发表于 2021-5-18 09:00:08

https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=17276&pid=84452&fromuid=865

这个回答值得你参考。

mathematica 发表于 2021-5-18 09:08:47

Clear["Global`*"];
ans=Solve[{
    (*根据两个点来计算斜率，x y在抛物线上，xc yc为两条切线的交点*)
    k==(y-yc)/(x-xc),
    (*利用抛物线上的点x y来表达斜率*)
    k==x/p
},{x,y}]//FullSimplify
(*A点与B点都在抛物线上*)
aaa=2*p*y-x^2/.ans[]//FullSimplify


求解结果

\[\left\{\left\{x\to k p,y\to k^2 p-k \text{xc}+\text{yc}\right\}\right\}\]

\

根据k1*k2=-1=2*yc/p得到yc=-p/2也就是准线

mathematica 发表于 2021-5-18 09:16:18

Clear["Global`*"];
ans=Solve[{
    (*根据两个点来计算斜率，x y在双曲线上，xc yc为两条切线的交点*)
    k==(y-yc)/(x-xc),
    (*利用双曲线上的点x y来表达斜率*)
    k==(2*x/a^2)/(2*y/b^2)
},{x,y}]//FullSimplify
(*A点与B点都在双曲线上*)
aaa=(x^2/a^2-y^2/b^2-1)/.ans[]//FullSimplify
(*提取分子*)
bbb=Collect,k]


双曲线的情况
yc^2+xc^2=a^2-b^2
有可能是一个圆，也可能不存在

惜缘判官 发表于 2021-5-18 10:05:47

mathematica 发表于 2021-5-18 09:16
双曲线的情况
yc^2+xc^2=a^2-b^2
有可能是一个圆，也可能不存在

感谢您的解答！

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