证明抛物线的互相垂直的切线交点的轨迹是其准线

惜缘判官

如题，求证明抛物线的互相垂直的切线交点的轨迹是其准线

mathematica

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 452&fromuid=865

这个回答值得你参考。

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=Solve[{
   
3.     (*根据两个点来计算斜率，x y在抛物线上，xc yc为两条切线的交点*)
   
4.     k==(y-yc)/(x-xc),
   
5.     (*利用抛物线上的点x y来表达斜率*)
   
6.     k==x/p
   
7. },{x,y}]//FullSimplify
   
8. (*A点与B点都在抛物线上*)
   
9. aaa=2*p*y-x^2/.ans[[1]]//FullSimplify
   

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求解结果

\[\left\{\left\{x\to k p,y\to k^2 p-k \text{xc}+\text{yc}\right\}\right\}\]

\[p \left(k^2 p-2 k \text{xc}+2 \text{yc}\right)\]

根据k1*k2=-1=2*yc/p得到yc=-p/2也就是准线

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=Solve[{
   
3.     (*根据两个点来计算斜率，x y在双曲线上，xc yc为两条切线的交点*)
   
4.     k==(y-yc)/(x-xc),
   
5.     (*利用双曲线上的点x y来表达斜率*)
   
6.     k==(2*x/a^2)/(2*y/b^2)
   
7. },{x,y}]//FullSimplify
   
8. (*A点与B点都在双曲线上*)
   
9. aaa=(x^2/a^2-y^2/b^2-1)/.ans[[1]]//FullSimplify
   
10. (*提取分子*)
    
11. bbb=Collect[Numerator[aaa],k]
    

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双曲线的情况
yc^2+xc^2=a^2-b^2
有可能是一个圆，也可能不存在

惜缘判官

mathematica 发表于 2021-5-18 09:16
双曲线的情况
yc^2+xc^2=a^2-b^2
有可能是一个圆，也可能不存在

感谢您的解答！