初中题，如图，A、C是半径为2的圆O上的两动点，以 AC为直角边在圆O，求OB的最小值
如图，A、C是半径为2的圆O上的两动点，以AC为直角边在圆O内做等腰Rt△ABC,∠C=90°，
连接OB，则OB的最小值是？
本帖最后由 mathematica 于 2021-5-30 12:23 编辑
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
(*假设CB=CA=x,BO=y,计算∠BCO的余弦值，计算∠ACO的余弦值*)
(*利用余弦定理计算两个角的余弦值，互余角的余弦值的平方和等于1*)
aaa=cs^2+cs^2-1
bbb=Numerator@Together(*只取分子，得到约数条件*)
f=y+t*bbb(*建立目标函数，求y的最大值*)
ans=Solve==0,{x,y,t},Reals]//FullSimplify(*拉格朗日乘子法，求偏导数，解方程组*)
Grid
g=x+t*bbb(*建立目标函数，求x的最大值*)
out=Solve==0,{x,y,t},Reals]//FullSimplify(*拉格朗日乘子法，求偏导数，解方程组*)
Grid
fi=ContourPlot(*隐函数绘图，看看约数条件的图像是什么样*)
一切思路写在代码注释里面！
约束条件是
\
求y极值的方程组的解是(只有实数解)
\[\begin{array}{lll}
x\to -2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2-2 \sqrt{2} & t\to \frac{1}{64} \left(-\sqrt{2}-2\right) \\
x\to -2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2 \left(\sqrt{2}-1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}+2\right) \\
x\to 2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2-2 \sqrt{2} & t\to \frac{1}{64} \left(-\sqrt{2}-2\right) \\
x\to 2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2 \left(\sqrt{2}-1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}+2\right) \\
x\to -2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to -2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(2-\sqrt{2}\right) \\
x\to -2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to 2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}-2\right) \\
x\to 2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to -2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(2-\sqrt{2}\right) \\
x\to 2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to 2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}-2\right) \\
\end{array}\]
求x极值的方程组的解是(只有实数解)
\[\begin{array}{lll}
x\to -4 & y\to -2 \sqrt{5} & t\to \frac{1}{128} \\
x\to -4 & y\to 2 \sqrt{5} & t\to \frac{1}{128} \\
x\to 4 & y\to -2 \sqrt{5} & t\to -\frac{1}{128} \\
x\to 4 & y\to 2 \sqrt{5} & t\to -\frac{1}{128} \\
\end{array}\]
约束条件的图像是
补充内容 (2021-6-1 13:39):
看起来像蝴蝶的翅膀 不用余弦定理，如何求解最小值 观察可知：ABCO是圆内接四边形
\(2*x+x*y=2*\sqrt{2}x\ \ 即： 2+y=2*\sqrt{2}\) 王守恩 发表于 2021-5-31 08:37
观察可知：ABCO是圆内接四边形
\(2*x+x*y=2*\sqrt{2}x\ \ 即： 2+y=2*\sqrt{2}\)
我需要你的证明！
逻辑思维是怎么回事？ 两个动点嘛，固定一个好了，就固定A, 让C相对于A在圆上滑动。
延长CB交圆O于D，则AD是直径，所以D随A而固定。
由于∠ABD=135°，所以B在如图的两条对称圆弧上滑动。
显然，B在轨迹圆弧的中顶时，OB最小。
这时 OB=2tan22.5°=EB-EO=2(√2-1）.
hujunhua 发表于 2021-5-31 11:48
两个动点嘛，固定一个好了，就固定A, 让C相对于A在圆上滑动。
延长CB交圆O于D，则AD是直径，所以D随A而固 ...
你为什么这么聪明？？？？
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