mathe 发表于 2021-6-10 08:36
首先消除一个变量d,变换题目为
$a>=-1,b>=-1,c>=-1,a+b+c=0$,函数值在$a=1-b-c$时取到最大值$(b-c)(1-b-c) ...
拉格朗日乘子法怎么就不行啊？
aimisiyou 发表于 2021-6-10 10:54
拉格朗日乘子法怎么就不行啊？
拉格朗日求的是内部极值点。现在最值在边界上
1，4个数必须有负数：1个负数太少，3个负数太多，2个负数刚好。
2，ab+bc+cd的最大值只能：(-1)(-1)+(-1)c+cd=1-c+cd=1+c(d-1)
3，当c=d-1时，c*(d-1)有最大值，即:c+d=2,c=d-1,得:c=1/2,d=3/2
一般地，已知：\(a,b,c,d\in[-k,+\infty)\) ，且 \(a+b+c+d=0\) ，
其中:\(k=1,2,3,4,...\)，或者\(k=\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},...\),
求：\(ab+bc+cd\) 的最大值。都可以用上面的解法。
\(ab+bc+cd\) 最大值=\((-k)(-k)+(-k)(k-\frac{k}{2})+(k-\frac{k}{2})(k+\frac{k}{2})=\frac{5k^2}{4}\)
楼上，缺乏数学推理关键的严谨性，否则哥德巴赫猜想早就被“证明”了。
另外，把原有的 \(a,b,c,d\) 均乘以新引入“\(k\)”，即可得到楼上所谓的推广。
但是，形式的略变，却很能唬住部分眼拙人士。
本帖最后由 王守恩 于 2021-6-13 15:59 编辑
王守恩 发表于 2021-6-11 17:11
1，4个数必须有负数：1个负数太少，3个负数太多，2个负数刚好。
2，ab+bc+cd的最大值只能：(-1)(-1)+(-1)c ...
往前走一走，规律就来了。
已知：\(a,b,c,d,e\in[-k,+\infty) \)，且\(a+b+c+d+e=0\)，
求：\(ab+bc+cd+de\) 的最大值。
\(ab+bc+cd+de=(-k)(-k)+(-k)(-k)+(-k)(k)+(k)(2k)=3k^2\)
本帖最后由 王守恩 于 2021-6-14 11:22 编辑
王守恩 发表于 2021-6-13 05:29
往前走一走，规律就来了。
已知：\(a,b,c,d,e\in[-k,+\infty) \)，且\(a+b+c+d+e=0\)，
求：\(ab+bc+ ...
往前走。
已知：\(a,b,c,d\in[-1,+\infty)\)，且\(\ -(a+b)=c+d=2-\frac{1}{k}\)
试证：当\(\ k\to+\infty\ \)时，\(ab+bc+cd\ \)的最大值\(\ =\frac{5}{4}\)
王守恩 发表于 2021-6-13 05:29
往前走一走，规律就来了。
已知：\(a,b,c,d,e\in[-k,+\infty) \)，且\(a+b+c+d+e=0\)，
求：\(ab+bc+ ...
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
k=-1122;
Maximize[{a*b+b*c+c*d+d*e,
a+b+c+d+e==0&&
a>=k&&
b>=k&&
c>=k&&
d>=k&&
e>=k
},{a,b,c,d,e}]
\[\{3776652,\{a\to -1122,b\to -1122,c\to -1122,d\to 1122,e\to 2244\}\}\]
感觉你是对的
本质上，目标函数就是一个多维二次曲面，然后变化范围就是个椎体，然后求二次曲面的极值。
mathematica 发表于 2021-6-15 08:28
本质上，目标函数就是一个多维二次曲面，然后变化范围就是个椎体，然后求二次曲面的极值。
k=-1122;
max= a*b+b*c+c*d+d*e+e*f;
a+b+c+d+e+f=0;
a>=k;
b>=k;
c>=k;
d>=k;
e>=k;
f>=k;
@free(a);
@free(b);
@free(c);
@free(d);
@free(e);
@free(f);
@free(k);
六个情况，mathematica软件求解不了，不知道为什么。
求解结果
Global optimal solution found.
Objective value: 6609141.0000000
Objective bound: 6609141.0006609
Infeasibilities: 0.0000000000000
Extended solver steps: 1129
Total solver iterations: 31463
Elapsed runtime seconds: 1.21
Model Class: QP
Total variables: 6
Nonlinear variables: 6
Integer variables: 0
Total constraints: 8
Nonlinear constraints: 1
Total nonzeros: 18
Nonlinear nonzeros: 5
Variable Value Reduced Cost
K -1122.0000000000 0.0000000000000
A 2805.0000000000 0.0000000000000
B 1683.0000000000 0.0000000000000
C -1122.0000000000 0.0000000000000
D -1122.0000000000 0.0000000000000
E -1122.0000000000 0.0000000000000
F -1122.0000000000 0.0000000000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.0000000000000 -11781.000000000
2 6609141.0000000 1.0000000000000
3 0.0000000000000 1683.0000000000
4 3927.0000000000 0.0000000000000
5 2805.0000000000 0.0000000000000
6 0.0000000000000 -1122.0000000000
7 0.0000000000000 -3927.0000000000
8 0.0000000000000 -3927.0000000000
9 0.0000000000000 -2805.0000000000
王守恩 发表于 2021-6-11 17:11
1，4个数必须有负数：1个负数太少，3个负数太多，2个负数刚好。
2，ab+bc+cd的最大值只能：(-1)(-1)+(-1)c ...
往简单里想。
\(\ \frac{5}{4}\ =(-1)(-1)+(-1)(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})(\frac{3}{2})\)
\(\ 3\ =(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(1)+(1)(2)\)
\(\frac{21}{4}=(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(\frac{3}{2})+(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})\)
\(\ 8\ =(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(2)+(2)(3)\)
\(\frac{45}{4}=(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(\frac{5}{2})+(\frac{5}{2})(\frac{7}{2})\)
\(......\)
{5/4, 3, 21/4, 8, 45/4, 15, 77/4, 24, 117/4, 35, 165/4, 48, 221/4, \63, 285/4, 80, 357/4, 99,...
\(a(n)=(\frac{n}{2})^2+n\)