一道最值问题（代数）

aimisiyou

mathe 发表于 2021-6-10 08:36
首先消除一个变量d,变换题目为
$a>=-1,b>=-1,c>=-1,a+b+c=0$,函数值在$a=1-b-c$时取到最大值$(b-c)(1-b-c) ...

拉格朗日乘子法怎么就不行啊？

mathe

aimisiyou 发表于 2021-6-10 10:54
拉格朗日乘子法怎么就不行啊？

拉格朗日求的是内部极值点。现在最值在边界上

王守恩

1，4个数必须有负数：1个负数太少，3个负数太多，2个负数刚好。
2，ab+bc+cd的最大值只能：(-1)(-1)+(-1)c+cd=1-c+cd=1+c(d-1)
3，当c=d-1时，c*(d-1)有最大值，即:c+d=2,c=d-1,得:c=1/2,d=3/2

一般地，已知：\(a,b,c,d\in[-k,+\infty)\) ，且 \(a+b+c+d=0\) ，
其中:\(k=1,2,3,4,...\)，或者\(k=\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},...\),
求：\(ab+bc+cd\) 的最大值。都可以用上面的解法。
\(ab+bc+cd\) 最大值=\((-k)(-k)+(-k)(k-\frac{k}{2})+(k-\frac{k}{2})(k+\frac{k}{2})=\frac{5k^2}{4}\)

gxqcn

楼上，缺乏数学推理关键的严谨性，否则哥德巴赫猜想早就被“证明”了。

另外，把原有的 \(a,b,c,d\) 均乘以新引入“\(k\)”，即可得到楼上所谓的推广。
但是，形式的略变，却很能唬住部分眼拙人士。

王守恩

王守恩 发表于 2021-6-11 17:11
1，4个数必须有负数：1个负数太少，3个负数太多，2个负数刚好。
2，ab+bc+cd的最大值只能：(-1)(-1)+(-1)c ...

往前走一走，规律就来了。
已知：\(a,b,c,d,e\in[-k,+\infty) \)，且\(a+b+c+d+e=0\)  ，
求：\(ab+bc+cd+de\) 的最大值。
\(ab+bc+cd+de=(-k)(-k)+(-k)(-k)+(-k)(k)+(k)(2k)=3k^2\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-6-13 05:29
往前走一走，规律就来了。
已知：\(a,b,c,d,e\in[-k,+\infty) \)，且\(a+b+c+d+e=0\)  ，
求：\(ab+bc+ ...

往前走。
已知：\(a,b,c,d\in[-1,+\infty)\)，且\(\ -(a+b)=c+d=2-\frac{1}{k}\)  
试证：当\(\ k\to+\infty\ \)时，\(ab+bc+cd\ \)的最大值\(\ =\frac{5}{4}\)

mathematica

王守恩 发表于 2021-6-13 05:29
往前走一走，规律就来了。
已知：\(a,b,c,d,e\in[-k,+\infty) \)，且\(a+b+c+d+e=0\)  ，
求：\(ab+bc+ ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. k=-1122;
   
3. Maximize[{a*b+b*c+c*d+d*e,
   
4.     a+b+c+d+e==0&&
   
5.     a>=k&&
   
6.     b>=k&&
   
7.     c>=k&&
   
8.     d>=k&&
   
9.     e>=k
   
10. },{a,b,c,d,e}]
    

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\[\{3776652,\{a\to -1122,b\to -1122,c\to -1122,d\to 1122,e\to 2244\}\}\]

感觉你是对的

mathematica

本质上，目标函数就是一个多维二次曲面，然后变化范围就是个椎体，然后求二次曲面的极值。

mathematica

mathematica 发表于 2021-6-15 08:28
本质上，目标函数就是一个多维二次曲面，然后变化范围就是个椎体，然后求二次曲面的极值。

1. k=-1122;
   
2. max= a*b+b*c+c*d+d*e+e*f;
   
3. a+b+c+d+e+f=0;
   
4. a>=k;
   
5. b>=k;
   
6. c>=k;
   
7. d>=k;
   
8. e>=k;
   
9. f>=k;
   
10. @free(a);
    
11. @free(b);
    
12. @free(c);
    
13. @free(d);
    
14. @free(e);
    
15. @free(f);
    
16. @free(k);

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六个情况，mathematica软件求解不了，不知道为什么。
求解结果

1.   Global optimal solution found.
   
2.   Objective value:                       6609141.0000000
   
3.   Objective bound:                       6609141.0006609
   
4.   Infeasibilities:                       0.0000000000000
   
5.   Extended solver steps:                            1129
   
6.   Total solver iterations:                         31463
   
7.   Elapsed runtime seconds:                          1.21
   
8. 
   
9.   Model Class:                                        QP
   
10. 
    
11.   Total variables:                      6
    
12.   Nonlinear variables:                  6
    
13.   Integer variables:                    0
    
14. 
    
15.   Total constraints:                    8
    
16.   Nonlinear constraints:                1
    
17. 
    
18.   Total nonzeros:                      18
    
19.   Nonlinear nonzeros:                   5
    
20. 
    
21. 
    
22. 
    
23.                   Variable                  Value               Reduced Cost
    
24.                          K       -1122.0000000000            0.0000000000000
    
25.                          A        2805.0000000000            0.0000000000000
    
26.                          B        1683.0000000000            0.0000000000000
    
27.                          C       -1122.0000000000            0.0000000000000
    
28.                          D       -1122.0000000000            0.0000000000000
    
29.                          E       -1122.0000000000            0.0000000000000
    
30.                          F       -1122.0000000000            0.0000000000000
    
31. 
    
32.                        Row           Slack or Surplus             Dual Price
    
33.                          1        0.0000000000000           -11781.000000000
    
34.                          2        6609141.0000000            1.0000000000000
    
35.                          3        0.0000000000000            1683.0000000000
    
36.                          4        3927.0000000000            0.0000000000000
    
37.                          5        2805.0000000000            0.0000000000000
    
38.                          6        0.0000000000000           -1122.0000000000
    
39.                          7        0.0000000000000           -3927.0000000000
    
40.                          8        0.0000000000000           -3927.0000000000
    
41.                          9        0.0000000000000           -2805.0000000000
    
42. 
    

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王守恩

王守恩 发表于 2021-6-11 17:11
1，4个数必须有负数：1个负数太少，3个负数太多，2个负数刚好。
2，ab+bc+cd的最大值只能：(-1)(-1)+(-1)c ...

往简单里想。
\(\ \frac{5}{4}\ =(-1)(-1)+(-1)(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})(\frac{3}{2})\)
\(\ 3\ =(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(1)+(1)(2)\)
\(\frac{21}{4}=(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(\frac{3}{2})+(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})\)
\(\ 8\ =(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(2)+(2)(3)\)
\(\frac{45}{4}=(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(\frac{5}{2})+(\frac{5}{2})(\frac{7}{2})\)
\(......\)
{5/4, 3, 21/4, 8, 45/4, 15, 77/4, 24, 117/4, 35, 165/4, 48, 221/4, \63, 285/4, 80, 357/4, 99,...
\(a(n)=(\frac{n}{2})^2+n\)