一道最值问题（代数）

gxqcn

已知：\(a,b,c,d \in [-1, +\infty)\) ，且 \(a+b+c+d=0\)，
求：\(ab+bc+cd\) 的最大值。

这是儿子昨晚问我的一道题，不知可有巧妙的解法？

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. Maximize[{a*b+b*c+c*d,a+b+c+d==0&&a>=-1&&b>=-1&&c>=-1&&d>=-1},{a,b,c,d}]
   

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求解结果
\[\left\{\frac{5}{4},\left\{a\to -1,b\to -1,c\to \frac{1}{2},d\to \frac{3}{2}\right\}\right\}\]

mathematica

极值点存在无穷多个的情况

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. f=a*b+b*c+c*d+x*(a+b+c+d-0)+x1*(a+1)+x2*(b+1)+x3*(c+1)+x4*(d+1)
   
3. ans=Solve[{
   
4.     D[f,{{a,b,c,d,x}}]==0,
   
5.     x1*(a+1)==0,
   
6.     x2*(b+1)==0,
   
7.     x3*(c+1)==0,
   
8.     x4*(d+1)==0
   
9. },{a,b,c,d,x,x1,x2,x3,x4}]
   
10. Grid[ans,Alignment->Left]
    
11. (f/.ans)//FullSimplify
    

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极值点
\[\begin{array}{lllllllll}
b\to -1 & c\to -1 & d\to 2-a & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to -a & \text{x3}\to a-2 & \text{x4}\to 0 & \text{} \\
a\to -1 & b\to -1 & c\to -1 & d\to 3 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to -3 & \text{x4}\to 0 \\
a\to -1 & b\to -1 & c\to \frac{1}{2} & d\to \frac{3}{2} & x\to -\frac{1}{2} & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to 0 \\
a\to -1 & b\to -1 & c\to 3 & d\to -1 & x\to 2 & \text{x1}\to -1 & \text{x2}\to -4 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to -5 \\
a\to -1 & b\to 1 & c\to 1 & d\to -1 & x\to 0 & \text{x1}\to -1 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to -1 \\
a\to -1 & b\to 3 & c\to -1 & d\to -1 & x\to 2 & \text{x1}\to -5 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to -4 & \text{x4}\to -1 \\
a\to 0 & b\to -1 & c\to -1 & d\to 2 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to -2 & \text{x4}\to 0 \\
a\to 0 & b\to 0 & c\to 0 & d\to 0 & x\to 0 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to 0 \\
a\to \frac{3}{2} & b\to \frac{1}{2} & c\to -1 & d\to -1 & x\to -\frac{1}{2} & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to 1 & \text{x4}\to \frac{3}{2} \\
a\to 2 & b\to -1 & c\to -1 & d\to 0 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to -2 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to 0 \\
a\to 3 & b\to -1 & c\to -1 & d\to -1 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to -3 & \text{x3}\to 1 & \text{x4}\to 0 \\
\end{array}\]

极值
\[\left\{-1,-1,\frac{5}{4},-5,-1,-5,-1,0,\frac{5}{4},-1,-1\right\}\]

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. f=a*b+b*c+c*d+x*(a+b+c+d-0)+x1*(a+1)+x2*(b+1)+x3*(c+1)+x4*(d+1)
   
3. ans=Solve[{
   
4.     D[f,{{a,b,c,d,x}}]==0,
   
5.     x1*(a+1)==0,
   
6.     x2*(b+1)==0,
   
7.     x3*(c+1)==0,
   
8.     x4*(d+1)==0
   
9. },{a,b,c,d,x,x1,x2,x3,x4}];
   
10. aaa=Prepend[#,f/.#]&/@ans
    
11. Grid[aaa,Alignment->Left]
    

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合在一起
\[\begin{array}{llllllllll}
-1 & b\to -1 & c\to -1 & d\to 2-a & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to -a & \text{x3}\to a-2 & \text{x4}\to 0 & \text{} \\
-1 & a\to -1 & b\to -1 & c\to -1 & d\to 3 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to -3 & \text{x4}\to 0 \\
\frac{5}{4} & a\to -1 & b\to -1 & c\to \frac{1}{2} & d\to \frac{3}{2} & x\to -\frac{1}{2} & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to 0 \\
-5 & a\to -1 & b\to -1 & c\to 3 & d\to -1 & x\to 2 & \text{x1}\to -1 & \text{x2}\to -4 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to -5 \\
-1 & a\to -1 & b\to 1 & c\to 1 & d\to -1 & x\to 0 & \text{x1}\to -1 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to -1 \\
-5 & a\to -1 & b\to 3 & c\to -1 & d\to -1 & x\to 2 & \text{x1}\to -5 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to -4 & \text{x4}\to -1 \\
-1 & a\to 0 & b\to -1 & c\to -1 & d\to 2 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to -2 & \text{x4}\to 0 \\
0 & a\to 0 & b\to 0 & c\to 0 & d\to 0 & x\to 0 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to 0 \\
\frac{5}{4} & a\to \frac{3}{2} & b\to \frac{1}{2} & c\to -1 & d\to -1 & x\to -\frac{1}{2} & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 & \text{x3}\to 1 & \text{x4}\to \frac{3}{2} \\
-1 & a\to 2 & b\to -1 & c\to -1 & d\to 0 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to -2 & \text{x3}\to 0 & \text{x4}\to 0 \\
-1 & a\to 3 & b\to -1 & c\to -1 & d\to -1 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to -3 & \text{x3}\to 1 & \text{x4}\to 0 \\
\end{array}\]

gxqcn

说实话，没人对你的结果感兴趣。
毕竟，经典数学不是实验，看重的是数学思想、方法过程，而不是简单结论。

mathematica

gxqcn 发表于 2021-6-10 08:16
说实话，没人对你的结果感兴趣。
毕竟，经典数学看重的是数学思想、方法过程，而不是结论。

难道你知道结果？我才不相信，我是算出结果，让别人去慢慢去靠
你要是说你有非微积分的办法，我是不会相信的。

gxqcn

我当然知道结果，是我儿子告诉我的，无须你来献

mathematica

0=(a+b+c+d)^2=a^2+2 a b+2 a c+2 a d+b^2+2 b c+2 b d+c^2+2 c d+d^2
a*b+b*c+c*d=-0.5*(a^2+b^2+c^2+d^2+2*ad)=-0.5*((a+d)^2+b^2+c^2)=-(b^2+b*c+c^2)其中(a+d)^2=(b+d)^2
剩下的我不会了，
从这个结果看ad异号，才能使得目标函数尽可能地大

a^2+b^2+c^2+d^2这是一个球，a+b+c+d=0这是一个平面，然后ad异号

f=a*b+b*c+c*d=-(b^2+b*c+c^2)
a+d=-b-c>=-2则b+c<=2
且b>=-1,c>=-1
求解这个的最值

mathe

首先消除一个变量d,变换题目为
$a>=-1,b>=-1,c>=-1,a+b+c<=1$ 求$a(b-c)-c^2$的最大值。
由于表达式关于a是一次函数，所以
i)当$b-c>=0$,函数值在$a=1-b-c$时取到最大值$(b-c)(1-b-c)-c^2=b-c-b^2$,而且这时$1-b-c>=-1$,即$b+c<=2$
    由于关于c是一次函数，所以在c取最小值时最大，所以c=-1,这时函数值为$b+1-b^2$,要求$-1<=b<=3$,这时b取$1/2$时取到最大值$5/4$
所以这种情况当$b=1/2,c=-1,a=3/2,d=-1$时取到最大值$5/4$
ii)当$b-c<0$时，函数值在$a=-1$时取到最大值$c-b-c^2$,要求$b+c<=2$，于是我们可以继续得出$b=-1,-1<=c<=3$,函数变化为$1+c-c^2$,得出和第一种情况等价的结果。
所以最大值为$5/4$

mathematica

你儿子是初中还是高中？

wayne

我也凑个热闹。目标是尽可能的消元。发现通过不等式放缩 能归结到 两个变量。
首先$a+b+c = -d <=1$ ，于是 $ab+bc+cd = ab-c(a+c) <= a(1-a-c) -c(a+c) = a-(a+c)^2 = -(a+c-1/2)^2 +1/4-c <= 1/4+1 = 5/4$
然后我们检查两个等号是否能同时成立。也就是 $a+b+c=1, a=1/2-c , c=-1$,  得到$a=3/2, b=1/2,c=-1,d=-1$, 满足定义域。