平面向量与复数太容易混淆了，变换群才能解释，否则也容易被人提出空间向量不适用的质疑。我的观念是，点还是点，向量也依旧是向量， 复数是向量间变换的一种表示形式，它是一个变换群，也可以被其它的替代（例如二阶矩阵）。 用这个观点来看，向量除法的结果，是一个变换，与点或向量无关。
向量商属于变换群中乘法运算之逆, 也可以看做是顺时针旋转变换, 其他的几种运算还有加法、共轭乘法。
一般的向量只定义了加法，内积，外积，没有定义旋转、伸缩，因为在空间中，说旋转的话总是得指定一个方向，变换并不构成一个群。
由这个观点来看，用复数来表示点，其实也不算合适，否则矩阵也可以表示一个点。但教材中定义了复平面，将复数作为一个点，这是引起争议的源头。
点是可以不依赖于具体坐标而存在的，向量也是。
以前我也困扰在这个问题上很久，并尝试了复数到三元数的推广， 如果不利用变换群的观念来看，是极容易走入这一误区的。 三元数本身不足以完整描述空间的变换，矩阵才行。
群论真是绝好的工具，以前读书时没有觉得，后来才认识到它的威力，可以对所研究的对象进行一个完备而恰到好处的刻画。
如果用教材中复平面的观点，将复数看做是一个点的话，那么它的性质是很奇怪的： 复数乘以复数的几何意义是什么， 也就是点乘以点的几何意义是什么，还是点吗？按照一般空间点的定义， 显然不应该是， 点乘以点是没意义的 。
这个问题等价于，向量除以向量是什么， 这也就是大家普遍觉得荒谬的地方。
creasson 发表于 2021-6-28 10:50
如果用教材中复平面的观点，将复数看做是一个点的话，那么它的性质是很奇怪的： 复数乘以复数的几何意义 ...
把复数既当成点，又当成向量——这跟平面上的点和从原点引向该点的向量是类似的。复数作为点存在，通常用在复分析里面。在几何里面，点可以直接看成是向量——用物理的语言来说，点就可以用一个位置矢量（简称“位矢”）来表示。因此，点的坐标就等于位矢的坐标分量；同理，复数作为点的坐标，用在平面几何里面就是一个位置矢量。
上次程序有误，\(\frac{p}{m}=\frac{(d+e)(d+f)}{d^2-ef}手工变形后可以得到如图的几何意义\)
本题略微修改46届IMO预选题结论，李涛博士论文88和89页给出的有关证明表达式很冗长，当然这与构图有关，本帖构图顺序D、E、A和H，其中A用向量商构造，计算结果表明HM:OO1=1+cosA.
向量商概念只是进一步明确扩充课本中的在同一直线上的有向线段比，国际会议论文中的向量 定比分点公式包括课本中的情形。
本帖最后由 creasson 于 2021-6-30 10:48 编辑
通常来说，向量除向量的结果不是唯一的。
例如在二维情形下, 若向量$ \mathbf{b} $由 向量$ \mathbf{a} $ 经变换矩阵$ \mathbf{M} $而来，即$ \mathbf{b}= \mathbf{M} \circ \mathbf{a} $，以
\[a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
\end{array}} \right),b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}\\
{{y_2}}\\
\end{array}} \right),M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{p_1}} & {{q_1}}\\
{{p_2}} & {{q_2}}\\
\end{array}} \right)\]
代入展开则为：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{p_1}{x_1} + {q_1}{x_2} = {y_1} \\
{p_2}{x_1} + {q_2}{x_2} = {y_2} \\
\end{array} \right.\]
这个方程组的解$ \left( p_1, q_1, p_2, q_2 \right) $ 并不能由 $ \left( x_1, x_2, y_1, y_2 \right) $完全地确定。
但是，如果对变换矩阵$ \mathbf{M} $添加一定的限制, 例如取
\[ M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
p & { - q}\\
q & p\\
\end{array}} \right) \]
的形式， 那么解就唯一确定了。
我们可以看到, 此种类型的矩阵也构成一个群
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
p & { - q}\\
q & p\\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u & { - v}\\
v & u\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{pu - qv} & { - \left( {pv + qu} \right)}\\
{pv + qu} & {pu - qv}\\
\end{array}} \right)\]
这个群同构于复数：$p + qi $。
于是，也就可以定义向量到向量的变换($ z $ 为复数)：$ \mathbf{b} = z \circ \mathbf{a} $
省略运算符 $ \circ $， 也就是 $ \mathbf{b} = z\mathbf{a} $，这就是复数乘以向量的表示含义。
在此种定义下，也就可以定义向量商 $\frac{\mathbf{b}} {\mathbf{a}} = z $。
我们可不可以推广到高维呢？答案也是可以的，用向量的内积和外积就行。
对于向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$, 若已知它们的内积和外积，则可由其中一向量完全确定另一向量。
证明： $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = c $, 并且 $\mathbf{a} \times\mathbf{b} = \mathbf{d} $，
根据拉格朗日的向量积公式：
\[\left( {\mathbf{a} \times \mathbf{b}} \right) \times \mathbf{b} = \left( {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b} - \left( {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{a}\]
代入，移项即有：
$ \mathbf{a} = \frac{c\mathbf{b} - \mathbf{d} \times \mathbf{b}}{|b|^2} $
也就是说，可以根据向量内积和外积，定义出一套完备的运算系统，使得向量与向量之间有"除法"。
事实上，这已经存在了，克利福特代数（Clifford algebra）。