以内切圆圆心为原点，D、E、F三切点作切线构造三角形ABC，假设H是△DEF垂心，三角形的费尔巴哈点表示为：
\(FB=\frac{de+ef+fd}{d+e+f}= \overrightarrow{ID}(\frac{ \overrightarrow{IE}}{ \overrightarrow{IH}})+\overrightarrow{IE}(\frac{ \overrightarrow{IF}}{ \overrightarrow{IH}})+\overrightarrow{IF}(\frac{\overrightarrow{ID}}{\overrightarrow{IH}})\)
\(注意上面的 向量商\frac{\overrightarrow{IE}}{ \overrightarrow{IH}}、\frac{ \overrightarrow{IF}}{ \overrightarrow{IH}}、\frac{ \overrightarrow{ID}}{ \overrightarrow{IH}}的几何意义，如果写成\frac{\overrightarrow{ID}\overrightarrow{IE}}{ \overrightarrow{IH}}、\frac{\overrightarrow{IE} \overrightarrow{IF}}{ \overrightarrow{IH}}、\frac{\overrightarrow{IF} \overrightarrow{ID}}{ \overrightarrow{IH}}，则\overrightarrow{IF} \overrightarrow{ID}、\overrightarrow{IE} \overrightarrow{ID} 、\overrightarrow{IF} \overrightarrow{IE}没有几何意义\)
本帖最后由 dlsh 于 2024-9-10 22:10 编辑
平面向量的除法几百年的争议是多了该终结的时候，具体参考数学传播待发表论文，论文在最后，前面是研究经历。
本帖最后由 dlsh 于 2024-9-12 22:54 编辑
主贴只是特例，所以有局限，对于ABC平面内任意点成立，不是垂心的性质，需要改正。
\[\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{OA}}+\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{OB}}+\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{OC}}=-\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{OA}}\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{OB}}\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{OC}}\]