{1,2,...,n}的和能被 m 整除的 m 元子集 - 第3页 - 难题征解 - 数学研发论坛

mathe 发表于 2021-8-15 10:18:20

对于n是M倍数时，C(u,n,h)会比较特殊，特别M是素数时会比较好计算。
设n=kM, 于是1~n中模M的不同余数都是k个。这k个同余的数相互替换对于这种和关于模M都是相同。
于是对于C(u,n,h)中某个实例，我们将其中每个数都加x（结果超过n的减去n),那么就可以得到一个C(u,n,(h+xu)(mod M))的结果。
由此，我们知道，如果(u,M)=1,那么对于所有不同的h都有C(u,kM,h)相等，等于$\frac{C_{kM}^u}M$.
如果(u,M)=d>1,我们可以得出对于部分h, C(u,n,h)相等，但是计算最终结果会有些复杂。
而我们现在比较关心u=M情况，这种情况对于一般的M分析起来比较困难，下面我们可以仅查看M为素数的情况:
这时,选择任意和n=kM互素的数字g,将x替换为xg(mod n)，我们可以得出C(M,kM,1)=C(M,kM,2)=...=C(M,kM,M-1)=a_k, C(M,kM,0)=b_k,
由于总数已知，我们有约束条件$C_{kM}^M=(M-1)a_k+b_k$

另外我们可以根据递推式得出
C(M,kM+1,h)=C(M,kM,h)+C(M-1,kM,h)=C(M,kM,h)+$\frac{C_{kM}^{M-1}}M$
由此C(M,kM+1,1)=C(M,kM+1,2)=...=C(M,kM+1,M-1),而且C(M,kM+1,1)-C(M,kM+1,0)=C(M,kM,1)-C(M,kM,0)

mathe 发表于 2021-8-15 10:55:54

我们已经有公式
C(u,n,h)=C(u,n-1,h-u)+C(u-1,n-1,h-u)
如果再考虑C(u,n,h)的所有实例中，不包含数字n的有C(u,n-1,h)个，而包含n的有C(u-1,n-1,h-n)个，
我们还可以得出
C(u,n,h)=C(u,n-1,h)+C(u-1,n-1,h-n)
取u=M,两者比较得出C(M-1,n-1,h)=C(M-1,n-1,h-n),于是我们得出，如果n不是素数M的倍数，必然有C(M-1,n-1,h)全部相等，都等于$\frac{C_{n-1}^{M-1}}M$
于是$n\ne 0(\mod M)$时，$C(M,n,h)=C(M,n-1,h)+\frac{C_{n-1}^{M-1}}M$
C(M,kM+1,h)=C(M,kM,h)+$\frac{C_{kM}^{M-1}}M$
C(M,kM+2,h)=C(M,kM+1,h)+$\frac{C_{kM+1}^{M-1}}M$
C(M,kM+3,h)=C(M,kM+2,h)+$\frac{C_{kM+2}^{M-1}}M$
C(M,kM+4,h)=C(M,kM+3,h)+$\frac{C_{kM+3}^{M-1}}M$
...
C(M,(k+1)M-1,h)=C(M,(k+1)M-2,h)+$\frac{C_{(k+1)M-2}^{M-1}}M$
上面表达式可以得知所有C(M,kM+x,h)和C(M,kM,h)一样，只有h=0时不同

mathe 发表于 2021-8-15 14:12:01

1楼的公式是错误的，把我代码简单修改M改为7就可以发现n>=28时是不对的:
#include <stdio.h>

#define M 7
#define N 300
long C;

long cnM(long n)
{
long p=1;
int i;
for(i=1;i<=M;i++){
   p*=(n+1-i);
   p/=i;
}
return p;
}

int main()
{
long i,h,n;
long u=1,s=1;
for(h=0;h<M;h++){
   for(n=1;n<N;n++){
         C=n/M;
         if(h>=1&&h<=n%M)C++;
   }
}
for(u=2;u<=M;u++){
   s+=u;s%=M;
   for(n=1;n<u;n++)for(h=0;h<M;h++)C=0;
   for(n=u;n<N;n++){
         for(h=0;h<M;h++){
            long v=h-u;if(v<0)v+=M;
            C=C+C[(u-1)&1];
         }
   }
}
printf("n\tF(n,m)\tceil((C(n,m)+4floor(n/m))/m)\n");
for(n=1;n<N;n++){
   long r=cnM(n);
   r+=4*(n/M);
   r+=M-1;
   r/=M;
   printf("%ld(%c)\t%ld\t%ld\n",n,C==r?'T':'F', C, r);
}
return 0;
}

输出:
n    F(n,m)ceil((C(n,m)+4floor(n/m))/m)
1(T) 0    0
2(T) 0    0
3(T) 0    0
4(T) 0    0
5(T) 0    0
6(T) 0    0
7(T) 1    1
8(T) 2    2
9(T) 6    6
10(T) 18    18
11(T) 48    48
12(T) 114 114
13(T) 246 246
14(T) 492 492
15(T) 921 921
16(T) 1636 1636
17(T) 2780 2780
18(T) 4548 4548
19(T) 7200 7200
20(T) 11076 11076
21(T) 16614 16614
22(T) 24366 24366
23(T) 35025 35025
24(T) 49446 49446
25(T) 68674 68674
26(T) 93974 93974
27(T) 126864126864
28(F) 169152169151
29(F) 222972222971
30(F) 290832290831
31(F) 375657375656
32(F) 480840480839
33(F) 610296610295
34(F) 768520768519
35(F) 960650960649
36(F) 1192530 1192529
37(F) 1470786 1470785
38(F) 1802898 1802897
39(F) 2197281 2197280
40(F) 2663370 2663369
41(F) 3211710 3211709
42(F) 3854052 3854051
43(F) 4603450 4603449
44(F) 5474372 5474371
....
296(F)5253804881276 5253804881264
297(F)5380620861168 5380620861156
298(F)5510051603532 5510051603520
299(F)5642141881698 5642141881686

mathe 发表于 2021-8-15 14:29:54

由于对于M是素数时，C(M, n, h)在h不是0的都相等，所以我们可以先将总数$C_n^M$M份平均分，余数留给C(M,n,0),得到一种潜在的参考解。
而这时如果每个C(M,n,h) (h!=0)加1，那么C(M,n,0)需要再添加M-1, 由此我们得到
$C(M,n,0)-\lfloor\frac{C_n^M}M\rfloor-(C_n^M%M)$是M-1的倍数，于是可以使用程序验证上面性质并且计算$r(M,n)=\frac{C(M,n,0)-\lfloor\frac{C_n^M}M\rfloor-(C_n^M%M)}{M-1}$
比如M=7时，得出
r(7,0..48)=0
r(7,49..97)=1
r(7,98:146)=2
r(7,147:195)=3
r(7,196:244)=4
r(7,245:293)=5
r(7,294:342)=6
r(7,343:391)=7
r(7,392:440)=8
...
r(7,931:979)=19
由此合理的猜测是$r(M,n)=\lfloor\frac{n}{M^2}\rfloor$
所以可以合理猜测M是素数时，$F(n,M)=\lfloor\frac{C_n^M}M\rfloor+C_n^M %M+(M-1)\lfloor\frac{n}{M^2}\rfloor$
根据Lucas定理，可以有$C_n^M%M=\lfloor\frac{n}{M}\rfloor %M$
所以$F(n,M)=\lfloor\frac{C_n^M}M\rfloor +\lfloor\frac{n}{M}\rfloor %M+ M\lfloor\frac{n}{M^2}\rfloor -\lfloor\frac{n}{M^2}\rfloor=\lfloor\frac{C_n^M}M\rfloor+\lfloor\frac{n}{M}\rfloor -\lfloor\frac{n}{M^2}\rfloor$和三楼的猜测匹配

王守恩 发表于 2021-8-15 14:35:00

本帖最后由王守恩于 2021-8-15 15:09 编辑

chyanog 发表于 2021-8-14 14:21
可以自己改代码运行

79 s
在 1～n 中任意取 12 个不同整数，使得这 12 个数之和能被 12 整除，有几种不同取法？

Table/12, _Integer], {n, 12, 31}]

{0, 1, 8, 39, 154, 518, 1556, 4208, 10516, 24516, 53930, 112716, 225432, 433444,
804960, 1448816, 2535412, 4324927, 7208216, 11760491}}

这里是n=31(32怎么鼓捣，就是出不来)，如果要搞个通项，需要n=12——83，各位网友：能来几项？

mathe 发表于 2021-8-15 17:35:00

22#的递推式表明，如果我们能够证明上面表达式在F(kM,M)（M是素数）的情况成立，那么就可以证明一切的F(n,M)。
而对于F(kM,M), 由于需要处理的数字为1~kM,本质上就是模M为0~M-1的数均k个。
如果我们发现$0\times a_0+1\times a_1+ 2\times a_2+...+(M-1)\times a_{M-1} -= 0 (mod M)$而且$a_0+a_1+...+a_{M-1} = M$
那么这种模式可以对应F(kM,M)中的$C_k^{a_0}C_k^{a_1}...C_k^{a_{M-1}}$个解，这个表达式是k的一个M次多项式。所以所有合法的模式累加以后得到F(kM,M)的结果也是k的一个M次多项式，即F(kM,M)是k的一个次数不超过M次的多项式。
根据Lucas定理有$C_{kM}^M -= k (mod M)$, 我们知道F(kM,M)应该会比较接近$\frac{C_{kM}^M-k}M$, 这个表达式也是k的M次多项式，所以
$G_M(k)=F(kM,M)-\frac{C_{kM}^M-k}M$是k的一个次数不超过M的多项式。而根据上面的数据结果，我们需要证明$G_M(k)=k$。
如果我们能够对k=0,1,2...,M都能够验算通过，那么就可以证明$G_M(k)=k$,比如上面对于M=7我们已经验算通过了，也就是M=7情况的结果已经可以严格证明了。
另外我们容易证明C(M,kM,1)也是kM的倍数。如果相信它和C(M,kM,0)不会有特别大的差值，那么显然这只能是唯一的选择了。

王守恩 发表于 2021-8-16 09:08:48

本帖最后由王守恩于 2021-8-16 09:14 编辑

chyanog 发表于 2021-8-14 14:21
可以自己改代码运行

79 s
在 1～n 中任意取 12 个不同整数，使得这 12 个数之和能被 12 整除，有几种不同取法？

Table/12,_Integer],{n,12,31}]

Table,12]]],{n,12,31}]

Table[$\sum_{k=1}^n$Total,12]]],{n,12,31}]

{0, 1, 8, 39, 154, 518, 1556, 4208, 10516, 24516, 53930, 112716, 225432, 433444,
804960, 1448816, 2535412, 4324927, 7208216, 11760491, 18816764, 29568824, ...}}

这里是n=33(原来是n=31，32怎么鼓捣，就是出不来)，结合21楼,22楼的算法:增加了32,33
如果要搞个通项，需要n=12——83，各位网友：能来几项？

说明一下：我们已经有2,4,6,8,9,10的规律，可还是找不到12的规律。
找到2的规律需要3(2*1+1)
找到3的规律需要5(3*1+2)
找到4的规律需要11(4*2+3)
找到5的规律需要14(5*2+4)
找到6的规律需要23(6*3+5)
找到7的规律需要27(7*3+6)
找到8的规律需要39(8*4+7)
找到9的规律需要44(9*4+8)
找到10的规律需要59(10*5+9)
找到11的规律需要65(11*5+10)
找到12的规律需要83(12*6+11)
......
帖子是论坛共同的财富，各位网友：可有好的想法？

mathe 发表于 2021-8-16 13:16:49

M=12
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=0
R=1
R=8
R=39
R=154
R=518
R=1556
R=4208
R=10516
R=24516
R=53930
R=112716
R=225432
R=433444
R=804960
R=1448816
R=2535412
R=4324927
R=7208216
R=11760491
R=18816764
R=29568824
R=45697248
R=69538728
R=104308092
R=154375200
R=225625260
R=325902154
R=465574454
R=658224574
R=921514412
R=1278227860
R=1757563244
R=2396674899
R=3242560086
R=4354292019
R=5805722692
R=7688656056
R=10116652620
R=13229464280
R=17198303444
R=22231947514
R=28583932532
R=36560836922
R=46531974124
R=58940492200
R=74316272620
R=93290629840
R=116613287300
R=145171631075
R=180012822356
R=222368766137
R=273684635014
R=335650950166
R=410240050224
R=499746949888
R=606835581744
R=734590417486
R=886574641510
R=1066894879790
R=1280273855748
R=1532130975444
R=1828672454244
R=2176990980080
R=2585176788448
R=3062440152713
R=3619247453236
R=4267470828581
R=5020553915536
R=5893693671336
R=6904041157380
R=8070921289200
R=9416074837400
R=10963922683490
R=12741856091104
R=14780552984428
R=17114324507658
R=19781491871142
R=22824798312896
R=26291856180716
R=30235634607136
R=34714987766669
R=39795229878138
R=45548756959349
R=52055722239256
R=59404765233744
R=67693802242312
R=77030878252976
R=87535088922904
R=99337572643204
R=112582582329016
R=127428636942756
R=144049763499496
R=162636829538640
R=183398977989320
R=206565164440000
R=232385809995000
R=261134569726965
R=293110231325040
R=328638743920155
R=368075393189250
R=411807122750406
R=460255019544636
R=513876963215568
R=573170458969788
R=638675653895208
R=710978558108274
R=790714470744576
R=878571634160640
R=975295116359620
R=1081690947233624
R=1198630508596560
R=1327055205944380
R=1467981421959107
R=1622505782165408
R=1791810732755183
R=1977170463727924
R=2179957177315704
R=2401647737718680
R=2643830702170680
R=2908213772387748
R=3196631666416948
R=3511054453275492
R=3853596350344766
R=4226525029407982
R=4632271431353230
R=5073440139101252
R=5552820308778596
R=6073397212724036
R=6638364394286711
R=7251136492218222
R=7915362734684295
R=8634941165110140
R=9414033599882376
R=10257081384943668
R=11168821951233352
R=12154306241044940
R=13218917005328734
R=14368388049270476
R=15608824426172926
R=16946723662698740
R=18388998015420600
R=19942997847706260
R=21616536126971280
R=23417914137552220
R=25355948409229815
R=27439998963409500
R=29679998876899085
R=32086485272319374
R=34670631735183574
R=37444282273998392
R=40419986823421088
R=43611038414739640
R=47031512013607186
R=50696305157520334
R=54621180393082498
R=58822809654088844
R=63318820580470196
R=68127844928349500
R=73269569071134800
R=78764786751464968
R=84635454084052909
R=90904746979168092
R=97597120986801289
R=104738373741927912
R=112355710010783848
R=120477809529630364
R=129134897636058944
R=138358818895777440
R=148183113724923990
R=158643098223148344
R=169775947217366144
R=181620780744153058
R=194218753970833718
R=207613150796408632
R=221849481132371900
R=236975582118663640
R=253041723274651089
R=270100715854958130
R=288208026410205225
R=307421894837552240
R=327803456921101088
R=349416871663144912
R=372329453406148192
R=396611809063063536
R=422337980456051784
R=449585592098377904
R=478436004419546888
R=508974472786744336
R=541290312322452896
R=575477068890178896
R=611632696248363776
R=649859739763886512
R=690265526685225897
R=732962363387396632
R=778067739588519503
R=825704539971481258
R=876001263210764038
R=929092248859901476
R=985117912099638576
R=1044224986825607716
R=1106566777075366092
R=1172303417297655674
R=1241602141463974516
R=1314637561550090664
R=1391591955387581028
R=1472655564439275024
R=1558026901498436016
R=1647913068892566084
R=1742530087191928839
R=1842103235031467880
R=1946867400046212531
R=2057067441558251436
R=2172958565015090232
R=2294806708847701008
R=2422888943748368328
R=2557493885067722124
R=2698922118331054984
R=2847486638606147420
R=3003513303722403570
R=3167341302107249638
R=3339323635239906398
R=3519827615523144860
R=3709235379573132980
R=3907944417764538076
R=4116368120030668635
R=4334936338793345990
R=4564095969022628379
R=4804311546339608820
R=5056065863162401240
R=5319860603849121756
R=5596216998837633464
R=5885676498777496708
R=6188801468654254594
R=6506175902944216676
R=6838406161799866754
R=7186121729348997692
R=7549975994107320776
R=7930647052633725180
R=8328838536428329680
R=8745280463249746164
R=9180730112851688139
R=9635972928364979364
R=10111823443324693153
R=10609126235619333590
R=11128756908362208790
R=11671623099014024192
R=12238665516756841792
R=12830859009503123456
R=13449213660539565846
R=14094775916245447542
R=14768629744885652118
R=15471897827975445076
R=16205742784217158548
R=16971368427565982676
R=17770021059424552496
R=18602990796585059312
R=19471612934919059089
R=20377269350496690116
R=21321389938135467821
R=22305454089126315904
R=23330992208136497320
R=24399587271104561140
R=25512876424127492752
R=26672552625224196968
R=27880366328975490698
R=29138127215996920784
R=30447705967244050004
R=31811036085180328954
R=33230115761807750854
R=34707009795665873520
R=36243851557799400460
R=37842845008878763344
R=39506266767473321173
R=41236468231742202922
R=43035877754543007005
R=44907002874305746440
R=46852432601672241264
R=48874839764334328920
R=50976983410070485520
R=53161711270502053000
R=55431962285569295948
R=57790769191338202600
R=60241261171138248236
R=62786666572735613560
R=65430315691541420784
R=68175643622655020952
R=71026193181742574016
R=73985617897648514600
R=77057685076740132125
R=80246278941984524800
R=83555403846757465795
R=86989187566487196690
R=90551884668133401030
R=94247879960710275020
R=98081692026853942160
R=102057976838753397580
R=106181531458444487600
R=110457297825898598850
R=114890366634906329000
R=119485981300302582160
R=124249542016533347076
R=129186609911230006408
R=134302911293790656144
R=139604342002756045324
R=145096971851980420363
R=150787049179509064816
R=156681005499162812343
R=162785460258870422116
R=169107225705748260216
R=175653311862099773000
R=182430931612335057496
R=189447505905117175092
R=196710669070735498524
R=204228274258152108180
R=212008398991720652646
R=220059350852165705502
R=228389673281822936622
R=237008151518872859316
R=245923818660568464516
R=255145961860339745844
R=264684128658774492159
R=274548133453511393118
R=284748064108045798383
R=295294288704640087212
R=306197462441338972840
R=317468534678443437380
R=329118756134442642984
R=341159686236922212604
R=353603200628449235174
R=366461498833120117052
R=379747112083771626950
R=393472911315715139524
R=407652115326993382104
R=422298299111196696356
R=437425402362839193744
R=453047738161512022092
R=469180001834814104671
R=485837280006464267820
R=503035059829594028405
R=520789238411814950494
R=539116132432060965334
R=558032487955992929672
R=577555490449965808352
R=597702775000545966344
R=618492436739577797210
R=639943041481990854750
R=662073636576347907690
R=684903761975532318300
R=708453461527575146100
R=732743294494234819116
R=757794347297328564112
R=783628245500646535064
R=810267166027449076021
R=837733849621599892844
R=866051613552335561233
R=895244364570953564504
R=925336612119418005096
R=956353481799398446860
R=988320729101742351840
R=1021264753405133763568
R=1055212612243938680574
R=1090192035854234939304
R=1126231441998025712360
R=1163359951074883649618
R=1201607401521026143318
R=1241004365505322083176
R=1281582164922230573276
R=1323372887691433689736
R=1366409404364162334361
R=1410725385046243219810
R=1456355316637867496785
R=1503334520400379351520
R=1551699169850085062720
R=1601486308989659928224
R=1652733870877152075968
R=1705480696543444104928
R=1759766554258173085072
R=1815632159155257945696
R=1873119193218034771216
R=1932270325635446335776
R=1993129233529284837184
R=2055740623064236132768
R=2120150250940726037504
R=2186404946282623726176
R=2254552632919802777169
R=2324642352077931299112
R=2396724285475490057591
R=2470849778840711335354
R=2547071365848439106054
R=2625442792489929540916
R=2706019041875592417776
R=2788856359484028854836
R=2874012278857364228820
R=2961545647756573225290
R=3051516654776797634460
R=3143986856436700593080
R=3239019204741857861540
R=3336678075236587176640
R=3437029295544214493680
R=3540140174410540858260
R=3646079531250510542031
R=3754917726213212350136
R=3866726690765214723323
R=3981579958807745782108
R=4099552698327717065528
R=4220721743598486955584
R=4345165627930364456936
R=4472964616987139882140
R=4604200742668643086320
R=4738957837576017932044
R=4877321570059711688090
R=5019379479867276029590
R=5165221014390980331262
R=5314937565532747878028
R=5468622507186415672788
R=5626371233355254508364
R=5788281196904747942499
R=5954451948968999000630
R=6124985179010765335555
R=6299984755553930059428
R=6479556767588408950008
R=6663809566666752252012
R=6852853809692439660696
R=7046802502419584096052
R=7245771043664045020170
R=7449877270246130796372
R=7659241502664890830026
R=7873986591524654039436
R=8094237964713812175336
R=8320123675356988243212
R=8551774450540590820560
R=8789323740833385010020
R=9032907770602080791731
R=9282665589144073721588
R=9538739122637336439177
R=9801273226930107076390
R=10070415741170375383574
R=10346317542298330874576
R=10629132600401773794176
R=10919018034958185714640
R=11216134171963458152670
R=11520644601971515746950
R=11832716239044834854910
R=12152519380640641202340
R=12480227768432787414100
R=12816018650094656038980
R=13160072842043086402160
R=13512574793169240404224
R=13873712649556408151449
R=14243678320211245703252
R=14622667543808445807413
R=15010879956475926569840
R=15408519160620536315816
R=15815792794821960082404
R=16232912604794828670768
R=16660094515447324162104
R=17097558704036282793906
R=17545529674447713681600
R=18004236332602731581500
R=18473912063018454908138
R=18954794806523869962214
R=19447127139160853598752
R=19951156352270355276844
R=20467134533794588495232
R=20995318650795229729053
R=21535970633219141115354
R=22089357458911617889989
R=22655751239909351682040
R=23235429310013110634640
R=23828674313673019731624
R=24435774296186439381104
R=25057022795242026708728
R=25692718933809980592148
R=26343167514412764912152
R=27008679114776311036340
R=27689570184896722122760
R=28386163145522477209744
R=29098786488087894930280
R=29827774876097857931200
R=30573469248000304379480
R=31336216921546487600453
R=32116371699676275554192
R=32914293977928488048747
R=33730350853414318207906
R=34564916235353839304134
R=35418370957214427930204
R=36291102890451104603728
R=37183507059888426723036

对应的Pari/gp代码:
getC(N,m)={
local(C,D,v,R);
C=matrix(N,m);
D=matrix(N,m);
R=vector(N);
for(h=1,m,
for(n=1,N,
   C=floor(n/m);
   if(h<=n%m, C=C+1)
)
);
for(u=2, m,
   for(n=1, u-1,
      for(h=1,m,D=0)
   );
   for(n=u,N,
      for(h=1,m,
         v=h-u;if(v<=0,v+=m);
         D=D+C
      )
   );
   C=D
);
for(n=1,N,
   R=C
);
R
}
另外对于M是素数而且不超过47，前2500项我都已经验证过和公式匹配，所以证明了对于这些素数公式都是严格成立的。

mathe 发表于 2021-8-16 16:18:30

另外F(n,m)定义为1~n中m个和为m倍数的数的组合数目。
如果我们扩展定义$F_h(n,m)$定义为1~n中m个和除以m余数为h的数的组合数目。而原定义的F(n,m)=$F_0(n,m)=F_m(n,m)$
可以证明$F_h(n,m)=F_{(h,m)}(n,m)$
于是在m为素数时，$U(m,k)=F_m(km,m)-F_{m-1}(km,m)=k$
但是m不是素数时，$U(m,k)=F_m(km,m)-F_{m-1}(km,m)$规律性没有那么强
比如
U(3,.)={1,2,3,4,5,6,...}
U(4,.)={0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90,...}
1*0,2*1,3*2,4*3,5*4,6*5,7*6,8*7,
U(6,.)={0, -4, -21, -60, -130, -240, -399, -616, -900, -1260, -1705, -2244, -2886, -3640, -4515, -5520,...}
U(8,.)={0, 18, 126, 460, 1220, 2670, 5138, 9016, 14760, 22890, 33990, 48708, 67756,...}
U(9,.)={1, 8, 30, 76, 155, 276, 448, 680, 981, 1360, 1826, 2388, 3055, 3836, 4740, 5776, 6953,...}
1*1, 2*4,3*10,4*19,5*31,6*46,7*64,8*85,9*109,10*136,11*166,
U(10,.)={0, -48, -594, -3088, -10605, -28470, -64883, -131544, -244278, -423660, -695640, -1092168, -1651819, -2420418,...}
U(12,.)={0, 168, 3204, 22852, 100100, 327156, 879200, 2053912, 4318776, 8366160, 15176172, 26087292, 42874780,...}
U(14,.)={0, -488, -16605, -169136, -960625, -3854016, -12271469, -33131000, -79038594, -171253440, -343543937, -647052120,...}
U(15,.)={1, 58, 630, 3176, 10780, 28776, 65373, 132280, 245331, 425110, 697576, 1094688, 1655030,...}
U(16,.)={0, 1618, 91998, 1315020, 9613700, 47169966, 177564338, 553275192, 1496134440, 3623453610, 8034631462, 16575151428,...}

王守恩 发表于 2021-8-17 03:20:29

本帖最后由王守恩于 2021-8-17 05:37 编辑

mathe 发表于 2021-8-16 13:16
M=12

在 1～n 中任意取12 个不同整数，使得这 12 个数之和能被 12 整除，有几种不同取法？

$a(n)=\frac{27\lfloor n/12\rfloor^6}{5}-(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5-1990\lfloor n/12\rfloor^4+1365\lfloor n/12\rfloor^3-791\lfloor n/12\rfloor^2+294\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+9)_{12}+1}{12}\rfloor)$
$-(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5-1990\lfloor n/12\rfloor^4+725\lfloor n/12\rfloor^3-311\lfloor n/12\rfloor^2+214\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+8)_{12}+1\ \ }{12}\rfloor)\ +\ \frac{n!/12}{12!(n-12)!}$
$-(\frac{4860\lfloor n/12\rfloor^5-5230\lfloor n/12\rfloor^4+3255\lfloor n/12\rfloor^3-1241\lfloor n/12\rfloor^2+330\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+11)_{12}+1}{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n+10)_{12}+1}{12}\rfloor)$
$-(\frac{972\lfloor n/12\rfloor^5-370\lfloor n/12\rfloor^4+455\lfloor n/12\rfloor^3-86\lfloor n/12\rfloor^2+133\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+7)_{12}+1}{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n+6)_{12}+1}{12}\rfloor)$
$+(\frac{972\lfloor n/12\rfloor^5+370\lfloor n/12\rfloor^4-85\lfloor n/12\rfloor^3+86\lfloor n/12\rfloor^2-47\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+5)_{12}+1\ }{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n+4)_{12}+1\ }{12}\rfloor)$
$+(\frac{4860\lfloor n/12\rfloor^5+5230\lfloor n/12\rfloor^4+2715\lfloor n/12\rfloor^3+701\lfloor n/12\rfloor^2-30\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+1)_{12}+1}{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n)_{12}+1}{12}\rfloor)$
$+(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5+1990\lfloor n/12\rfloor^4+185\lfloor n/12\rfloor^3-229\lfloor n/12\rfloor^2-146\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+3)_{12}+1}{12}\rfloor)$
$+(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5+1990\lfloor n/12\rfloor^4+825\lfloor n/12\rfloor^3+251\lfloor n/12\rfloor^2-66\lfloor n/12\rfloor\ \ \ \ \ \ \ }{360})(\lfloor\frac{(n+2)_{12}+1}{12}\rfloor)$

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 39, 154, 518, 1556,4208,10516, 24516,53930, 112716, 225432, 433444,
804960, 1448816, 2535412, 4324927,7208216, 11760491,18816764, 29568824, 45697248,69538728, 104308092,
154375200, 225625260, 325902154, 465574454, 658224574, 921514412, 1278227860, 1757563244, 2396674899,
3242560086, 4354292019, 5805722692,7688656056, 10116652620,13229464280,17198303444, 22231947514,...}
注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

页: 1 2 [3] 4 5

数学研发论坛's Archiver