【半径递推公式】
如图3所示，对于圆序列中第 \(n\) 和 \(n+1\) 个圆，
在三角形 \(\Delta OO_nO_{n+1}\) 中，由余弦公式得：
\[ \begin{align}&\mathrel{\phantom{=}}O_nO_{n+1}^2=(r_n+r_{n+1})^2\notag\\
&=(R-r_n )^2+(R-r_{n+1})^2-2(R-r_n)(R-r_{n+1})\cos(θ_n-θ_{n+1})\tag{5}\end{align}\]
利用三角公式：
\[\cos(θ_n-θ_{n+1})=\cosθ_n\cos θ_{n+1}+\sinθ_n\sinθ_{n+1}\tag{6}\]
将 (3)、(4) 和 (6) 式代入 (5) 解得半径递推公式：
\
这是圆序列中相邻两个圆半径的关系。
在 (5) 中可以看出，\(r_n\) 与 \(r_{n+1}\) 具有互换性，
因此 (7) 中的两个解分别对应于当前圆半径向前和向后的递推关系。
而圆序列的圆半径是递减的，因而 (7) 中的解取负号，即：
\
【半径和圆心角通项公式】
因为 \(r_n<R, (n=0,1,2,…)\) ，令：\[
r_n=\frac{R}{k_n}\tag{9}
\]将 (9) 代入 (8) 得：\[
k_{n+1}=\frac{k_n^2-2k_n+9}{k_n+1-2\sqrt{k_n-2}}\tag{10}
\]作变量代换：\[
k_n=t_n^2+2\tag{11}
\]代入 (10) 式得：\[
t_{n+1}^2=\frac{t_n^4+4t_n+3}{t_n^2-2t_n+3}=(t_n+1)^2\tag{12}
\]即 \(t_{n+1}=t_n+1\) 或：
\
将 (13)、(11) 式代入 (9) 式得半径的通项公式：\[
r_n=\frac{R}{n^2+2}, (n=0,1,2,…)\tag{14}
\]将 (14) 式代入 (3) 式得圆心角的通项公式：\[
θ_n=\cos^{-1}\frac{R-3r_n}{R-r_n}=\cos^{-1}\bigg(\frac{n^2-1}{n^2+1}\bigg), (n=0,1,2,…)\tag{15}
\]通过三角函数关系 (15) 也可表示为：\[
θ_n=2\tan^{-1}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)
\]还可求出圆心坐标的通项公式：\[
x_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}R,y_n=\frac{2n}{n^2+2}R,(n=0, 1, 2, ...)
\]利用这些通项公式在软件中把这些圆画出来就可以检验通项公式是否有误。
这个题知识点不少，从最基本的到比较高级的都有。
现在就剩级数求和这个知识点了。期待大佬的指教。
nyy 发表于 2023-8-10 13:58
利用倪举鹏的思路，红色部分其实是个六条棱已知的、体积等于零的四面体，
可以利用四面体体积等于零来列 ...
假设圆的半径表达式=\(\frac{2}{(n^2+2)}\)，然后求解下一个圆的半径表达式。
根据四面体的体积等于零，求解结果
\[\left\{\left\{\text{r2}\to \frac{2}{n^2-2 n+3}\right\},\left\{\text{r2}\to \frac{2}{n^2+2 n+3}\right\}\right\}\]
由此可知，一个是上一个圆的上一个圆的半径，一个是下个圆的半径
这个适用于归纳法证明！
(*由上一个圆的半径,求解下一个圆的半径*)
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
r1=2/(n^2+2)(*上一个圆的半径表达式*)
ans=Solve==0,{r2}](*求解得到下一个圆的表达式*)
Jack315 发表于 2023-8-12 10:48
【半径和圆心角通项公式】
因为 \(r_n
我突然意识到，半径表达式=R/(n^2+2)中的n可以取-1、-2、-3、-4、-5、-6、-7等值，负号序列的圆在x轴的下面，题目中只有正的序列在x轴的上面。
nyy 发表于 2023-8-14 09:14
假设圆的半径表达式=\(\frac{2}{(n^2+2)}\)，然后求解下一个圆的半径表达式。
根据四面体的体积等于 ...
如果是针对圆心坐标与半径的归纳，那么只能用方程组，
得到
上一个圆的圆心与半径
\[\left\{\frac{2 \left(n^2-1\right)}{n^2+2},\frac{4 n}{n^2+2},\frac{2}{n^2+2}\right\}\]
方程组求解得到的结果
\[\begin{array}{ccc}
\text{x2}\to \frac{2 (n-2) n}{n^2-2 n+3} & \text{y2}\to \frac{4 (n-1)}{n^2-2 n+3} & \text{r2}\to \frac{2}{n^2-2 n+3} \\
\text{x2}\to \frac{2 n (n+2)}{n^2+2 n+3} & \text{y2}\to \frac{4 (n+1)}{n^2+2 n+3} & \text{r2}\to \frac{2}{n^2+2 n+3} \\
\end{array}\]
可以看出，是n-1与n+1所对应的圆，这适合用数学归纳法来证明
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
{x1,y1,r1}={2*(n^2-1),4n,2}/(n^2+2)(*假设出圆的圆心与半径*)
(*求解出下一个圆的圆心坐标与半径*)
ans=Solve[{
(x2-x1)^2+(y2-y1)^2==(r2+r1)^2,(*上一个圆与下一个圆外切*)
(x2-0)^2+(y2-0)^2==(2-r2)^2,(*两个圆内切,圆心(0,0)半径=2*)
(x2-1)^2+(y2-0)^2==(1+r2)^2(*两个圆外切,圆心(1,0)半径=1*)
},{x2,y2,r2}]//Simplify
反演啊
Jack315 发表于 2023-8-12 10:16
【半径递推公式】
如图3所示，对于圆序列中第 \(n\) 和 \(n+1\) 个圆，
其实归纳才最符合普通人的思维，
你这纯属都研究透了，然后慢慢琢磨出来的思路。
我最开始，就是用CAD搞到前几个圆的半径，然后用软件归纳通项公式，
然后又用反余弦方程得到递推公式，你的过程属于上教科书的过程。
对于刚开始来的人来说很那。归纳才是最简单最粗暴最容易掌握的办法
nyy 发表于 2023-8-17 10:51
其实归纳才最符合普通人的思维，
你这纯属都研究透了，然后慢慢琢磨出来的思路。
我最开始，就是用CAD ...
演算 (EQ:12) 式看到两个多项式相除的时候也是很晕的，
直到看到相除结果后才豁然开朗的。
好难，不会
lihpb00 发表于 2023-11-25 22:24
好难，不会
都是软件干活，什么懒不懒。