求红色线段的长度值

nyy

nyy 发表于 2023-8-10 13:58
利用倪举鹏的思路，红色部分其实是个六条棱已知的、体积等于零的四面体，
可以利用四面体体积等于零来列 ...

假设圆的半径表达式=\(\frac{2}{(n^2+2)}\)，然后求解下一个圆的半径表达式。

根据四面体的体积等于零，求解结果
\[\left\{\left\{\text{r2}\to \frac{2}{n^2-2 n+3}\right\},\left\{\text{r2}\to \frac{2}{n^2+2 n+3}\right\}\right\}\]

由此可知，一个是上一个圆的上一个圆的半径，一个是下个圆的半径

这个适用于归纳法证明！

1. (*由上一个圆的半径,求解下一个圆的半径*)
   
2. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
3. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
4. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
5. r1=2/(n^2+2)(*上一个圆的半径表达式*)
   
6. ans=Solve[fun[2-r1,2-r2,1,1+r2,1+r1,r1+r2]==0,{r2}](*求解得到下一个圆的表达式*)
   

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nyy

Jack315 发表于 2023-8-12 10:48
【半径和圆心角通项公式】
因为 \(r_n

我突然意识到，半径表达式=R/(n^2+2)中的n可以取-1、-2、-3、-4、-5、-6、-7等值，负号序列的圆在x轴的下面，题目中只有正的序列在x轴的上面。

nyy

nyy 发表于 2023-8-14 09:14
假设圆的半径表达式=\(\frac{2}{(n^2+2)}\)，然后求解下一个圆的半径表达式。

根据四面体的体积等于 ...

如果是针对圆心坐标与半径的归纳，那么只能用方程组，
得到

上一个圆的圆心与半径
\[\left\{\frac{2 \left(n^2-1\right)}{n^2+2},\frac{4 n}{n^2+2},\frac{2}{n^2+2}\right\}\]

方程组求解得到的结果
\[\begin{array}{ccc}
\text{x2}\to \frac{2 (n-2) n}{n^2-2 n+3} & \text{y2}\to \frac{4 (n-1)}{n^2-2 n+3} & \text{r2}\to \frac{2}{n^2-2 n+3} \\
\text{x2}\to \frac{2 n (n+2)}{n^2+2 n+3} & \text{y2}\to \frac{4 (n+1)}{n^2+2 n+3} & \text{r2}\to \frac{2}{n^2+2 n+3} \\
\end{array}\]

可以看出，是n-1与n+1所对应的圆，这适合用数学归纳法来证明

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. {x1,y1,r1}={2*(n^2-1),4n,2}/(n^2+2)(*假设出圆的圆心与半径*)
   
3. (*求解出下一个圆的圆心坐标与半径*)
   
4. ans=Solve[{
   
5.     (x2-x1)^2+(y2-y1)^2==(r2+r1)^2,(*上一个圆与下一个圆外切*)
   
6.     (x2-0)^2+(y2-0)^2==(2-r2)^2,(*两个圆内切,圆心(0,0)半径=2*)
   
7.     (x2-1)^2+(y2-0)^2==(1+r2)^2(*两个圆外切,圆心(1,0)半径=1*)
   
8. },{x2,y2,r2}]//Simplify
   

复制代码

曹半

反演啊

nyy

Jack315 发表于 2023-8-12 10:16
【半径递推公式】

如图3所示，对于圆序列中第 \(n\) 和 \(n+1\) 个圆，

其实归纳才最符合普通人的思维，
你这纯属都研究透了，然后慢慢琢磨出来的思路。
我最开始，就是用CAD搞到前几个圆的半径，然后用软件归纳通项公式，
然后又用反余弦方程得到递推公式，你的过程属于上教科书的过程。
对于刚开始来的人来说很那。归纳才是最简单最粗暴最容易掌握的办法

Jack315

nyy 发表于 2023-8-17 10:51
其实归纳才最符合普通人的思维，
你这纯属都研究透了，然后慢慢琢磨出来的思路。
我最开始，就是用CAD ...

演算 (EQ:12) 式看到两个多项式相除的时候也是很晕的，
直到看到相除结果后才豁然开朗的。

lihpb00

好难，不会

nyy

lihpb00 发表于 2023-11-25 22:24
好难，不会

都是软件干活，什么懒不懒。

hujunhua

可以参考“鞋匠刀问题”20#的反演方法。
在10#第12个图中画出了反演像，不过与20#使用的反演幂不同。