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[原创] 求红色线段的长度值

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发表于 2021-8-29 20:18:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求红色线段的长度值
求红色线段的长度值.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-29 22:36:20 | 显示全部楼层
  1. Sum[2/(2+x^2),{x,0,Infinity}]//FullSimplify
  2. %//N
复制代码

$\sum _{x=0}^{\infty } \frac{2}{x^2+2}=\frac{1}{2}+\frac{\pi  \coth \left(\sqrt{2} \pi \right)}{\sqrt{2}}=2.72205620114745584564266431704...$

点评

需要乘以2再减1. 后面每个圆半径用了两次  发表于 2021-8-31 09:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-31 08:55:16 | 显示全部楼层
楼上是错的,问题复杂算不出。高次递推关系
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-31 10:07:26 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2021-8-29 22:36
$\sum _{x=0}^{\infty } \frac{2}{x^2+2}=\frac{1}{2}+\frac{\pi  \coth \left(\sqrt{2} \pi \right)}{\s ...

确实,需要乘以2再减一
$\sum _{x=0}^{\infty } \frac{4}{x^2+2}-1=\sqrt{2} \pi  \coth \left(\sqrt{2} \pi \right)=4.44411240229491169128532863407...$

点评

这下才对了。  发表于 2021-8-31 11:54
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发表于 2021-8-31 10:32:16 | 显示全部楼层
y -> (2 (2 x + x^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[x^3 - x^4]))/(4 - 4 x + 9 x^2)         x是圆半径,y是挨着x的圆的半径,就是这个递推式,半径依次为1,2/3,1/3,2/11,1/9,确实楼上的算式也满足这个数列,不知道楼上怎么计算的

点评

用 x=2/(n^2+2) 代入即得楼上。  发表于 2021-8-31 18:53
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发表于 2021-9-1 13:00:27 | 显示全部楼层
查询到
\[\frac2{\pi}\sinh(a\pi)\left(\frac1{2a}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac a{a^2+n^2}\cos(nx)\right)=\coth(a(\pi-x)), 0\le x\le 2\pi\]
将$x=0,a=\sqrt{2}$代入,可以得出
\[\frac1{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac 2{2+n^2}= \frac{\coth(\sqrt{2}\pi)\pi}{\sqrt{2}}\]
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发表于 2021-9-1 17:29:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-9-2 04:04 编辑
倪举鹏 发表于 2021-8-31 10:32
y -> (2 (2 x + x^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[x^3 - x^4]))/(4 - 4 x + 9 x^2)         x是圆半径,y是挨着x的圆的 ...

从简单想起。2种可能2个方程。
内切:大圆(半径=2)圆心,动圆(半径=y)圆心,切点,依次在一条线上。
外切:小圆(半径=1)圆心,切点,动圆(半径=y)圆心,依次在一条线上。


\(1,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((1+y)^2=(2-y)^2+(2-1)^2-2(2-y)(2-1)\cos(\pi/2)\)
\(y=2/3,a=\pi/2\)

\(2,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((2/3+y)^2=(2-y)^2+(2-2/3)^2-2(2-y)(2-2/3)\cos(2\cot^{-1}(1)-a)\)
\(y=2/6,a=2\cot^{-1}(2)\)

\(3,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((2/6+y)^2=(2-y)^2+(2-2/6)^2-2(2-y)(2-2/6)\cos(2\cot^{-1}(2)-a)\)
\(y=2/11,a=2\cot^{-1}(3)\)

\(4,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((2/11+y)^2=(2-y)^2+(2-2/11)^2-2(2-y)(2-2/11)\cos(2\cot^{-1}(3)-a)\)
\(y=2/18,a=2\cot^{-1}(4)\)

\(5,y=2/27,a=2\cot^{-1}(5)\)

\(6,y=2/38,a=2\cot^{-1}(6)\)

\(7,y=2/51,a=2\cot^{-1}(7)\)

\(8,y=2/66,a=2\cot^{-1}(8)\)

\(9,y=2/83,a=2\cot^{-1}(9)\)

挺不错的题目!沿着大圆(半径=2)的折线可有长度值?沿着小圆(半径=1)的折线可有长度值?
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发表于 2021-9-1 18:05:13 | 显示全部楼层
根据留数定理:$\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{\pi\cot(i\pi a)}{ia} = \frac{\pi \coth(\pi a)}{a}.$,所以$\frac1{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac 2{2+n^2}= \frac{coth(\sqrt{2}\pi)\pi}{\sqrt{2}}$

点评

竟然漏掉了编辑  发表于 2021-9-3 15:23
$\frac{\pi cot(\pix)}{x^2+a^2}$我是执国索因的,^_^  发表于 2021-9-3 15:22
对哪个函数用的留数定理?  发表于 2021-9-3 12:36
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发表于 2021-9-2 17:39:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-9-2 20:56 编辑
王守恩 发表于 2021-9-1 17:29
从简单想起。2种可能2个方程。
内切:大圆(半径=2)圆心,动圆(半径=y)圆心,切点,依次在一条线上。
外切 ...

挺不错的题目!对一下答案。
如果说:红色线段长度值=4.444112402294911691285328...
沿着大圆(半径=2)线段长度值=5.945614219628764986380693...
沿着小圆(半径=1)线段长度值=2.956813708503021606373812...
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发表于 2021-9-3 20:35:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-9-4 09:07 编辑
王守恩 发表于 2021-9-1 17:29
从简单想起。2种可能2个方程。
内切:大圆(半径=2)圆心,动圆(半径=y)圆心,切点,依次在一条线上。
外切 ...


挺不错的题目!谢谢 markfang2050!

红色线段(每条)长度值:\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\ \big(\frac{2}{n^2+2\ }+\frac{2}{(n-1)^2+2\ \ }\big)\)=4.444112402294911691285328...

沿着小圆(半径=1)线段(每条)长度值:\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{4(n^2-n+4)}{4+(n^2-n+4)^2\ \ }\)=2.956813708503021606373812...

沿着大圆(半径=2)线段(每条)长度值:\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{4}{\sqrt{1+(n^2-n+1)^2\ \ }\ \ }\)=5.945614219628764986380693...
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