求红色线段的长度值

markfang2050

求红色线段的长度值

chyanog

1. Sum[2/(2+x^2),{x,0,Infinity}]//FullSimplify
   
2. %//N

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$\sum _{x=0}^{\infty } \frac{2}{x^2+2}=\frac{1}{2}+\frac{\pi  \coth \left(\sqrt{2} \pi \right)}{\sqrt{2}}=2.72205620114745584564266431704...$

倪举鹏

楼上是错的，问题复杂算不出。高次递推关系

chyanog

chyanog 发表于 2021-8-29 22:36
$\sum _{x=0}^{\infty } \frac{2}{x^2+2}=\frac{1}{2}+\frac{\pi  \coth \left(\sqrt{2} \pi \right)}{\s ...

确实，需要乘以2再减一
$\sum _{x=0}^{\infty } \frac{4}{x^2+2}-1=\sqrt{2} \pi  \coth \left(\sqrt{2} \pi \right)=4.44411240229491169128532863407...$

倪举鹏

y -> (2 (2 x + x^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[x^3 - x^4]))/(4 - 4 x + 9 x^2)         x是圆半径，y是挨着x的圆的半径，就是这个递推式，半径依次为1，2/3，1/3，2/11，1/9，确实楼上的算式也满足这个数列，不知道楼上怎么计算的

mathe

查询到
\[\frac2{\pi}\sinh(a\pi)\left(\frac1{2a}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac a{a^2+n^2}\cos(nx)\right)=\coth(a(\pi-x)), 0\le x\le 2\pi\]
将$x=0,a=\sqrt{2}$代入，可以得出
\[\frac1{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac 2{2+n^2}= \frac{\coth(\sqrt{2}\pi)\pi}{\sqrt{2}}\]

王守恩

倪举鹏 发表于 2021-8-31 10:32
y -> (2 (2 x + x^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[x^3 - x^4]))/(4 - 4 x + 9 x^2)         x是圆半径，y是挨着x的圆的 ...

从简单想起。2种可能2个方程。
内切：大圆(半径=2)圆心,动圆(半径=y)圆心,切点,依次在一条线上。
外切：小圆(半径=1)圆心,切点,动圆(半径=y)圆心,依次在一条线上。


\(1,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((1+y)^2=(2-y)^2+(2-1)^2-2(2-y)(2-1)\cos(\pi/2)\)
\(y=2/3,a=\pi/2\)

\(2,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((2/3+y)^2=(2-y)^2+(2-2/3)^2-2(2-y)(2-2/3)\cos(2\cot^{-1}(1)-a)\)
\(y=2/6,a=2\cot^{-1}(2)\)

\(3,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((2/6+y)^2=(2-y)^2+(2-2/6)^2-2(2-y)(2-2/6)\cos(2\cot^{-1}(2)-a)\)
\(y=2/11,a=2\cot^{-1}(3)\)

\(4,(1+y)^2=(2-y)^2+1^2-2(2-y)\cos(a)\)
\((2/11+y)^2=(2-y)^2+(2-2/11)^2-2(2-y)(2-2/11)\cos(2\cot^{-1}(3)-a)\)
\(y=2/18,a=2\cot^{-1}(4)\)

\(5,y=2/27,a=2\cot^{-1}(5)\)

\(6,y=2/38,a=2\cot^{-1}(6)\)

\(7,y=2/51,a=2\cot^{-1}(7)\)

\(8,y=2/66,a=2\cot^{-1}(8)\)

\(9,y=2/83,a=2\cot^{-1}(9)\)

挺不错的题目！沿着大圆(半径=2)的折线可有长度值？沿着小圆(半径=1)的折线可有长度值？

wayne

根据留数定理：$\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{\pi\cot(i\pi a)}{ia} = \frac{\pi \coth(\pi a)}{a}.$,所以$\frac1{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac 2{2+n^2}= \frac{coth(\sqrt{2}\pi)\pi}{\sqrt{2}}$

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-1 17:29
从简单想起。2种可能2个方程。
内切：大圆(半径=2)圆心,动圆(半径=y)圆心,切点,依次在一条线上。
外切 ...

挺不错的题目！对一下答案。
如果说：红色线段长度值=4.444112402294911691285328...
沿着大圆(半径=2)线段长度值=5.945614219628764986380693...
沿着小圆(半径=1)线段长度值=2.956813708503021606373812...

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-1 17:29
从简单想起。2种可能2个方程。
内切：大圆(半径=2)圆心,动圆(半径=y)圆心,切点,依次在一条线上。
外切 ...

挺不错的题目！谢谢 markfang2050！

红色线段(每条)长度值:\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\ \big(\frac{2}{n^2+2\ }+\frac{2}{(n-1)^2+2\ \ }\big)\)=4.444112402294911691285328...

沿着小圆(半径=1)线段(每条)长度值:\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{4(n^2-n+4)}{4+(n^2-n+4)^2\ \ }\)=2.956813708503021606373812...

沿着大圆(半径=2)线段(每条)长度值:\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{4}{\sqrt{1+(n^2-n+1)^2\ \ }\ \ }\)=5.945614219628764986380693...