求红色线段的长度值

nyy

nyy 发表于 2023-8-9 15:49
我来尝试求解一下这个问题！
首先比较容易求解出半径=2/3的那个圆（用勾股定理就可以求解）

利用解析几何，解方程组，从上一个圆，得到下一个圆的圆心坐标与半径。
数组的下标，第一个圆是r=2/3这个圆，第0个圆是半径=1的左边的那个圆。

解析几何的原点为图上的A点。

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. {x1,y1,r1}={-1,0,1}(*上一个圆圆心与半径初始赋值*)
   
3. (*子函数,输入参数{x1,y1,r1}表示上一个圆的圆心与坐标,输出结果为下一个圆的圆心与半径{x2,y2,r2}*)
   
4. NextCircle[list_]:=Module[{x1=list[[1]],y1=list[[2]],r1=list[[3]],x2,y2,r2,ans,out},
   
5.     ans=Solve[{
   
6.         (x2-x1)^2+(y2-y1)^2==(r2+r1)^2,(*上一个圆与下一个圆外切*)
   
7.         (x2-0)^2+(y2-0)^2==(2-r2)^2,(*两个圆内切*)
   
8.         (x2-1)^2+(y2-0)^2==(1+r2)^2,(*两个圆外切*)
   
9.         y2>0&&x2>x1&&2>r2>0(*限制变量范围*)
   
10.     },{x2,y2,r2}]//FullSimplify;
    
11.     out={x2,y2,r2}/.ans[[1]];out(*返回结果,返回圆心与半径*)
    
12. ]
    
13. (*aaa用来保存圆心坐标、半径的数组*)
    
14. aaa={{x1,y1,r1}};(*第一个圆心、半径搞进来*)
    
15. Do[aa=NextCircle[{x1,y1,r1}];
    
16.     aaa=Append[aaa,aa];
    
17.     {x1,y1,r1}=aa,
    
18.     {k,1,20}
    
19. ]
    
20. (*求圆心的x y 坐标与半径的通项公式*)
    
21. xxx=FindSequenceFunction[aaa[[2;;21,1]],n]//FullSimplify(*求解通项公式*)
    
22. yyy=FindSequenceFunction[aaa[[2;;21,2]],n]//FullSimplify(*求解通项公式*)
    
23. rrr=FindSequenceFunction[aaa[[2;;21,3]],n]//FullSimplify(*求解通项公式*)
    
24. out={xxx,yyy,rrr}(*圆心x公式,圆心y公式,半径公式*)
    

复制代码

前15个结果，对应圆心的x y与半径（三列）
\[\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
0 & \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\
1 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{16}{11} & \frac{12}{11} & \frac{2}{11} \\
\frac{5}{3} & \frac{8}{9} & \frac{1}{9} \\
\frac{16}{9} & \frac{20}{27} & \frac{2}{27} \\
\frac{35}{19} & \frac{12}{19} & \frac{1}{19} \\
\frac{32}{17} & \frac{28}{51} & \frac{2}{51} \\
\frac{21}{11} & \frac{16}{33} & \frac{1}{33} \\
\frac{160}{83} & \frac{36}{83} & \frac{2}{83} \\
\frac{33}{17} & \frac{20}{51} & \frac{1}{51} \\
\frac{80}{41} & \frac{44}{123} & \frac{2}{123} \\
\frac{143}{73} & \frac{24}{73} & \frac{1}{73} \\
\frac{112}{57} & \frac{52}{171} & \frac{2}{171} \\
\frac{65}{33} & \frac{28}{99} & \frac{1}{99} \\
\end{array}
\right)\]


通项公式，对应上面的矩阵，那么数组下标就从n=0开始
\[\left\{2-\frac{6}{n^2+2},\frac{4 n}{n^2+2},\frac{2}{n^2+2}\right\}\]
上面的矩阵，一列一个通项公式，分别是圆心横坐标通项公式，圆心纵坐标通项公式，圆心半径通项公式

nyy

nyy 发表于 2023-8-9 15:49
我来尝试求解一下这个问题！
首先比较容易求解出半径=2/3的那个圆（用勾股定理就可以求解）

利用倪举鹏的思路，红色部分其实是个六条棱已知的、体积等于零的四面体，
可以利用四面体体积等于零来列方程。

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
3. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
4. ans=Solve[fun[2-r1,2-r2,1,1+r2,1+r1,r1+r2]==0,{r2}]
   

复制代码

列方程，解方程，得到
\[\left\{\left\{\text{r2}\to \frac{2 \left(\text{r1}^2-2 \sqrt{2} \sqrt{\text{r1}^3-\text{r1}^4}+2 \text{r1}\right)}{9 \text{r1}^2-4 \text{r1}+4}\right\},\left\{\text{r2}\to \frac{2 \left(\text{r1}^2+2 \sqrt{2} \sqrt{\text{r1}^3-\text{r1}^4}+2 \text{r1}\right)}{9 \text{r1}^2-4 \text{r1}+4}\right\}\right\}\]

nyy

nyy 发表于 2023-8-10 12:36
利用解析几何，解方程组，从上一个圆，得到下一个圆的圆心坐标与半径。
数组的下标，第一个圆是r=2/3 ...

21楼的结果
\[\left\{2-\frac{6}{n^2+2},\frac{4 n}{n^2+2},\frac{2}{n^2+2}\right\}\]

计算纵坐标与横坐标的商，然后用余切的二倍角公式列方程，

得到方程
\[\frac{4 n}{\left(n^2+2\right) \left(2-\frac{6}{n^2+2}\right)}=\frac{2}{k \left(1-\frac{1}{k^2}\right)}\]

1. Solve[((4 n)/(2 + n^2))/(2 - 6/(2 + n^2)) == (2*1/k)/(1 - 1/k^2), k] // Simplify

复制代码

解方程，得到结果
\[\left\{\left\{k\to -\frac{1}{n}\right\},\{k\to n\}\right\}\]

这也就是王守恩在7楼的结果的反余切的结果
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 7&fromuid=14149

因此动圆圆心的幅角=\[2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)\]

nyy

nyy 发表于 2023-8-10 12:36
利用解析几何，解方程组，从上一个圆，得到下一个圆的圆心坐标与半径。
数组的下标，第一个圆是r=2/3 ...

继续优化我的代码，更容易读更容易懂，添加注释

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. {x1,y1,r1}={-1,0,1}(*上一个圆圆心与半径初始赋值*)
   
3. (*子函数,输入参数{x1,y1,r1}表示上一个圆的圆心与坐标,输出结果为下一个圆的圆心与半径{x2,y2,r2}*)
   
4. NextCircle[list_]:=Module[{x1=list[[1]],y1=list[[2]],r1=list[[3]],x2,y2,r2,ans,out},
   
5.     ans=Solve[{
   
6.         (x2-x1)^2+(y2-y1)^2==(r2+r1)^2,(*上一个圆(x1,y1,r1)与下一个圆(x2,y2,r2)外切*)
   
7.         (x2-0)^2+(y2-0)^2==(2-r2)^2,(*两个圆内切,圆心(0,0)半径=2*)
   
8.         (x2-1)^2+(y2-0)^2==(1+r2)^2,(*两个圆外切,圆心(1,0)半径=1*)
   
9.         y2>0&&x2>x1&&r1>r2>0(*限制变量范围*)
   
10.     },{x2,y2,r2}]//FullSimplify;
    
11.     out={x2,y2,r2}/.ans[[1]](*返回结果,返回圆心与半径*)
    
12. ]
    
13. (*aaa用来保存圆心坐标、半径的数组*)
    
14. aaa={{x1,y1,r1}};(*第一个圆心、半径搞进来*)
    
15. Do[aa=NextCircle[{x1,y1,r1}];(*根据上一个圆(x1,y1,r1)找到下一个圆(x2,y2,r2)*)
    
16.     aaa=Append[aaa,aa];(*把找到的圆(x2,y2,r2)保存到数组里面*)
    
17.     {x1,y1,r1}=aa,(*把找到的圆的数据赋值给下一个圆的输入数据*)
    
18.     {k,1,20}
    
19. ]
    
20. (*圆心x通项公式,圆心y通项公式,半径通项公式*)
    
21. bbb=Transpose[aaa](*矩阵转置过来,对行找通项公式*)
    
22. ccc=FindSequenceFunction[#,n]&/@bbb(*对每一行找通项公式*)
    
23. ddd=ccc/.n->n+1//Simplify(*置换一下,数组下标从零开始*)
    

复制代码

得到的圆心与半径数据
{{-1, 0, 1, 16/11, 5/3, 16/9, 35/19, 32/17, 21/11, 160/83, 33/17, 80/
  41, 143/73, 112/57, 65/33, 448/227, 85/43, 192/97, 323/163, 240/121,
   133/67},

{0, 4/3, 4/3, 12/11, 8/9, 20/27, 12/19, 28/51, 16/33, 36/
  83, 20/51, 44/123, 24/73, 52/171, 28/99, 60/227, 32/129, 68/291, 36/
  163, 76/363, 40/201},

{1, 2/3, 1/3, 2/11, 1/9, 2/27, 1/19, 2/51, 1/
  33, 2/83, 1/51, 2/123, 1/73, 2/171, 1/99, 2/227, 1/129, 2/291, 1/
  163, 2/363, 1/201}}

得到的通项公式（下标从零开始）
\[\left\{\frac{2 \left(n^2-1\right)}{n^2+2},\frac{4 n}{n^2+2},\frac{2}{n^2+2}\right\}\]

nyy

nyy 发表于 2023-8-11 11:00
继续优化我的代码，更容易读更容易懂，添加注释

现在来考察一下动圆圆心所在的轨迹。

1. Eliminate[{x, y} == {(2 (-1 + n^2))/(2 + n^2), (4 n)/(2 + n^2)}, n]

复制代码

运行结果
-16 - 8 x + 8 x^2 + 9 y^2=0


搞成标准方程，则椭圆的标准方程
\[\frac{(x-0.5)^2}{1.5^2}+\frac{y^2}{\sqrt{2}^2}=1\]

Jack315

wayne 发表于 2021-9-1 18:05
根据留数定理：$\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{\pi\cot(i\pi a)}{ia} = \frac{\ ...

能否具体一点说明下列级数求和的方法：
\[\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{\pi\cot(i\pi a)}{ia} = \frac{\pi \coth(\pi a)}{a}\]
\[\frac1{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac 2{2+n^2}= \frac{coth(\sqrt{2}\pi)\pi}{\sqrt{2}}\]
基础有点差，这个问题想不明白

这个问题的通项公式经过一些基本的操作就能得到。
下面把推导通项公式的过程分享一下。
主要是 LaTeX 排版比较生疏，练习一下……

Jack315

【说明：圆序列】


如图1所示，大圆圆心位于坐标原点 \(O(0,0)\)，半径为\(R\)；
小圆圆心位于 \(X\) 轴上 \(A(R/2,0)\) 点，半径为 \(R/2\)。

圆序列的第一个圆 \((n=0)\) 是与大、小圆同时相切，且半径为最大的一个圆。
因而其圆心位于 \(X\) 轴上 \(O_0 (-R/2,0)\) 点，半径为 \(r_0=R/2\)。

后续第 \(n\) 个圆同时与大、小圆及第 \(n-1\) 个圆相切，
其圆心位于 \(O_n (x_n,y_n )\)，半径为 \(r_n\)，其中，\(n=1,2,3,…\)。

按题意，“红线长度” \(L\) 为：
\[\begin{align}
\mathrel{\phantom{=}}L=\Bigg(2\sum_{n=0}^{\infty}r_n\Bigg)-r_0=\Bigg(2\sum_{n=0}^{\infty}r_n\Bigg)-\frac{R}{2}\notag\\=\Bigg(2\sum_{n=1}^{\infty}r_n\Bigg)+r_0=\Bigg(2\sum_{n=1}^{\infty}r_n\Bigg)+\frac{R}{2}\tag{1}\end{align}\]

圆序列中每个圆有圆心和半径两个参数，因此与此对应有两个序列：
半径，以及圆心角——圆心、坐标原点连线与 \(X\) 轴的夹角：
\[\begin{matrix}r_n, & \theta_n, & \big(n=0,1,2,3,…\big)\end{matrix}\tag{2}\]
其中，\(r_0=R/2\)，\(θ_0=\pi\)。

注意到：对于 \(n>1\)，圆序列中所有的圆都在第 I 象限，
因而 \(0<r_n<R/2\) 且 \(0<θ_n<\pi/2\)。

Jack315

【半径与圆心角的关系】


如图2所示，对于圆序列中第 \(n\) 个圆，
在三角形 \(\Delta OO_nA\) 中，由余弦公式得：
\[AO_n^2=\bigg(\frac{R}{2}+r_n\bigg)^2=(R-r_n )^2+\bigg(\frac{R}{2}\bigg)^2-2(R-r_n )\bigg(\frac{R}{2}\bigg)\cos θ_n\]
由此解得：
\[\cosθ_n=\frac{R-3r_n}{R-r_n}\tag{3}\]
以及：
\[\sinθ_n=\sqrt{1-\cos^2θ_n}=2\frac{\sqrt{r_n (R-2r_n)}}{R-r_n}\tag{4}\]

Jack315

【半径递推公式】

如图3所示，对于圆序列中第 \(n\) 和 \(n+1\) 个圆，
在三角形 \(\Delta OO_nO_{n+1}\) 中，由余弦公式得：
\[ \begin{align}&\mathrel{\phantom{=}}O_nO_{n+1}^2=(r_n+r_{n+1})^2\notag\\
&=(R-r_n )^2+(R-r_{n+1})^2-2(R-r_n)(R-r_{n+1})\cos(θ_n-θ_{n+1})\tag{5}\end{align}\]

利用三角公式：
\[\cos(θ_n-θ_{n+1})=\cosθ_n\cos θ_{n+1}+\sinθ_n\sinθ_{n+1}\tag{6}\]
将 (3)、(4) 和 (6) 式代入 (5) 解得半径递推公式：
\[r_{n+1}=Rr_n\frac{(R+r_n )±2\sqrt{r_n (R-2r_n ) }}{R^2-2Rr_n+9r_n^2}\tag{7}\]

这是圆序列中相邻两个圆半径的关系。
在 (5) 中可以看出，\(r_n\) 与 \(r_{n+1}\) 具有互换性，
因此 (7) 中的两个解分别对应于当前圆半径向前和向后的递推关系。
而圆序列的圆半径是递减的，因而 (7) 中的解取负号，即：
\[r_{n+1}=Rr_n\frac{(R+r_n )-2\sqrt{r_n (R-2r_n ) }}{R^2-2Rr_n+9r_n^2}\tag{8}\]

Jack315

【半径和圆心角通项公式】
因为 \(r_n<R, (n=0,1,2,…)\) ，令：\[
r_n=\frac{R}{k_n}\tag{9}
\]将 (9) 代入 (8) 得：\[
k_{n+1}=\frac{k_n^2-2k_n+9}{k_n+1-2\sqrt{k_n-2}}\tag{10}
\]作变量代换：\[
k_n=t_n^2+2\tag{11}
\]代入 (10) 式得：\[
t_{n+1}^2=\frac{t_n^4+4t_n+3}{t_n^2-2t_n+3}=(t_n+1)^2\tag{12}
\]即 \(t_{n+1}=t_n+1\) 或：
\[t_n=n\tag{13}\]
将 (13)、(11) 式代入 (9) 式得半径的通项公式：\[
r_n=\frac{R}{n^2+2}, (n=0,1,2,…)\tag{14}
\]将 (14) 式代入 (3) 式得圆心角的通项公式：\[
θ_n=\cos^{-1}\frac{R-3r_n}{R-r_n}=\cos^{-1}\bigg(\frac{n^2-1}{n^2+1}\bigg), (n=0,1,2,…)\tag{15}
\]通过三角函数关系 (15) 也可表示为：\[
θ_n=2\tan^{-1}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)
\]还可求出圆心坐标的通项公式：\[
x_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}R,y_n=\frac{2n}{n^2+2}R,(n=0, 1, 2, ...)
\]利用这些通项公式在软件中把这些圆画出来就可以检验通项公式是否有误。
这个题知识点不少，从最基本的到比较高级的都有。
现在就剩级数求和这个知识点了。期待大佬的指教。