求红色线段的长度值

王守恩

求红色线段的长度值。记半径依次为 \(x_{1},x_{2},x_{3},...\)

由  \(\D\frac{2-x_{1}}{\sin(\theta_{1})}=\frac{x_{1}+x_{2}}{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})}=\frac{2-x_{2}}{\sin(\theta_{2})}\)

解得 \(\D x_{n}=\frac{2}{n^2-2n+3}\)

倪举鹏

y -> (2 (2 x + x^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[x^3 - x^4]))/(4 - 4 x + 9 x^2)         x是圆半径，y是挨着x的圆的半径，就是这个递推式。这个是一般式，好像不能解出递推式吧。楼上的都是起始位置是特殊位置才有的结果吧

王守恩

倪举鹏 发表于 2021-9-16 09:51
y -> (2 (2 x + x^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[x^3 - x^4]))/(4 - 4 x + 9 x^2)         x是圆半径，y是挨着x的圆的 ...

挺简单的：补充11楼，记半径依次为\(x_{1},x_{2},x_{3},...\),得到一个一个的三角形，由正弦定理....

nyy

王守恩 发表于 2021-9-4 15:05
求红色线段的长度值。记半径依次为 \(x_{1},x_{2},x_{3},...\)

由  \(\D\frac{2-x_{1}}{\sin(\theta_{1} ...

请问你的通项公式是怎么得到的？

nyy

chyanog 发表于 2021-8-31 10:07
确实，需要乘以2再减一
$\sum _{x=0}^{\infty } \frac{4}{x^2+2}-1=\sqrt{2} \pi  \coth \left(\sqrt{2} ...

你们的通项公式是怎么得到的？难道是得到先算出前几项，然后归纳得到的通项公式？

nyy

我来尝试求解一下这个问题！
首先比较容易求解出半径=2/3的那个圆（用勾股定理就可以求解）

如图所示，假设上面的一个圆的半径r1已知，然后利用方程来求解下一个圆的半径r2，
由于方程有点复杂，因此采用牛顿迭代法求解圆的半径，然后由高精度数值解得到精确解。

如图所示，假设r1 r2已知，那么红色线段长度都已知，因此可以用余弦定理计算出角1、角2以及他们的和角，因此可以列出方程。如果r1已知，那么就可以求解出r2

r1与r2之间的方程如下：
\[\cos ^{-1}\left(\frac{3 \text{r1}-2}{\text{r1}-2}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{-\text{r1} (\text{r2}+2)-2 \text{r2}+4}{(\text{r1}-2) (\text{r2}-2)}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{3 \text{r2}-2}{\text{r2}-2}\right)\]

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. r1=1/9(*前面的一个圆*)
   
5. (*用两个角相加等于一个大角,用反余弦计算得到角来列方程,然后由r1得到r2*)
   
6. (*如图所示,角1+角2=大角*)
   
7. eqn=ArcCos@cs[2-r1,2-r2,r1+r2]+ArcCos@cs[2-r2,1,1+r2]==ArcCos@cs[2-r1,1,1+r1]//FullSimplify
   
8. ans=FindRoot[eqn,{r2,1},WorkingPrecision->30]
   
9. RootApproximant[r2/.ans]
   

复制代码

求解代码如上

nyy

nyy 发表于 2023-8-9 15:49
我来尝试求解一下这个问题！
首先比较容易求解出半径=2/3的那个圆（用勾股定理就可以求解）

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. xx={1,2/3,1/3,2/11,1/9,2/27}(*通过计算,得到半径的前几项*)
   
3. (*求解n的表达式,n是变量*)
   
4. xxx=FindSequenceFunction[xx,n]//FullSimplify(*求解通项公式*)
   
5. (*每个圆的半径都计算两次,但是第一个圆的半径只计算一次,因此减去1*)
   
6. Sum[xxx*2,{n,1,Infinity}]-1
   

复制代码

计算出前几个圆的半径公式，
然后用软件找到通项公式
然后所有的圆的半径*2求和，但是由于第一个圆的半径只计算一次，因此减去1

前几项如下：
\[\left\{1,\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{11},\frac{1}{9},\frac{2}{27}\right\}\]

通项公式如下：
\[\frac{2}{(n-2) n+3}\]

求和如下
\[\sqrt{2} \pi  \coth \left(\sqrt{2} \pi \right)\]

nyy

有没有求解出半径通项公式的好办法？

nyy

王守恩 发表于 2021-9-4 15:05
求红色线段的长度值。记半径依次为 \(x_{1},x_{2},x_{3},...\)

由  \(\D\frac{2-x_{1}}{\sin(\theta_{1} ...

我只会多项式方程组求圆心坐标、半径，明天试试看！
这问题有意思

nyy

nyy 发表于 2023-8-9 15:49
我来尝试求解一下这个问题！
首先比较容易求解出半径=2/3的那个圆（用勾股定理就可以求解）

接着16楼的反余弦表达式，两边取余弦值，然后化简，就是解那个反余弦方程。
最后得到
r1与r2的关系
\[9 \text{r1}^2 \text{r2}^2-4 \text{r1}^2 \text{r2}+4 \text{r1}^2-4 \text{r1} \text{r2}^2-8 \text{r1} \text{r2}+4 \text{r2}^2=0\]
解这个r2的方程，得到

\[\left\{\left\{\text{r2}\to \frac{2 \left(\text{r1}^2-2 \sqrt{2} \sqrt{\text{r1}^3-\text{r1}^4}+2 \text{r1}\right)}{9 \text{r1}^2-4 \text{r1}+4}\right\},\left\{\text{r2}\to \frac{2 \left(\text{r1}^2+2 \sqrt{2} \sqrt{\text{r1}^3-\text{r1}^4}+2 \text{r1}\right)}{9 \text{r1}^2-4 \text{r1}+4}\right\}\right\}\]

让r1=2/3，
那么前者的r2=1/3，后者的r2=1，很显然圆的半径越来越小。
因此
\[\text{r2}\to \frac{2 \left(\text{r1}^2-2 \sqrt{2} \sqrt{\text{r1}^3-\text{r1}^4}+2 \text{r1}\right)}{9 \text{r1}^2-4 \text{r1}+4}\]

没想到这个表达式也能显式地解出来！
而mathematica对于反余弦方程，求解的不理想，真没想到有时候我比mathematica软件还要聪明一点点。