级数 sin(n^2)/n
这个级数的数值求和如何计算？我有5%的把握它收敛到一个0.16开头的小数上，但我对这个精度和确信度十分不满意。Mathematica和wolfram alpha都直接GG，百度了一下也没找到答案。
目前我十分怀疑这是一个历史著名开放问题，被研究透了结论是没法计算的那种。
$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^2)}{n}$ 应该是发散的。https://newbedev.com/on-the-convergence-of-sum-n-1-infty-frac-sin-left-n-a-right-n-b
不过，这个帖子说是条件收敛： https://math.stackexchange.com/questions/3467681/determine-whether-sum-n-1-infty-frac-sin-n2n-converges 上一个帖子错的，一开始给出求和和积分收敛性等价这个性质是有问题的，仅对单调函数成立 条件收敛比较符合直觉。mathoverflow的结论比较可靠 $\int_1^{\infty } \frac{\sin \left(n^2\right)}{n}dn = \frac{1}{4} (\pi -2 \text{Si}(1)) =0.312357 $，然后 级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^2)}{n} $不知道可以跟这个有什么关系。 本帖最后由 Ickiverar 于 2021-9-28 14:08 编辑
$\sum_n \sin(n^2)/n = \sum_{n,k} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} n^(4k+1) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\zeta(-4k-1) = ???$ 光看一个点可能看不出什么规律，可以令
$f(a,b)=\sum_{n=1}^{\infty}{sin(n^a)}/{n^b}$
然后将$a$、$b$取遍所有的正整数，
然后把$f(a,b)$这个曲面画出来看看，
或许就看出规律来了。
有了一般的规律，
楼主要研究的$f(2,1)$这个地方是什么样子的，
就可以看得很清楚了。 本帖最后由 王守恩 于 2021-10-11 17:42 编辑
跟这串数的奇偶有关。\(\D a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{0, 1, 2, 5, 7, 11, 15, 20, 25, 31, 38, 45, 53, 62, 71, 81, 91, 103, 114, 127, 140, 154, 168, 183, 198, ...}
\(\D a(n)=\mod(\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi},\ \ 2)=\mod(\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor,\ \ 2)\)
{0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0,...} 本帖最后由 王守恩 于 2021-10-12 10:38 编辑
王守恩 发表于 2021-10-11 07:19
跟这串数的奇偶有关。\(\D a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{ ...
\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{\sin(n)\ }{n}-\frac{\sin(n^2)\ }{n}\bigg)=0.892215\)
\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)\ }{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)\ }{n}-0.892215=\frac{\pi-1}{2}-0.892215=0.178503\)
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