数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 283|回复: 13

[求助] 级数 sin(n^2)/n

[复制链接]
发表于 2021-9-21 05:13:41 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
这个级数的数值求和如何计算?我有5%的把握它收敛到一个0.16开头的小数上,但我对这个精度和确信度十分不满意。
Mathematica和wolfram alpha都直接GG,百度了一下也没找到答案。
目前我十分怀疑这是一个历史著名开放问题,被研究透了结论是没法计算的那种。

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^2)}{n}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-12 10:20:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-12 10:38 编辑
王守恩 发表于 2021-10-11 07:19
跟这串数的奇偶有关。\(\D a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{ ...

\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{\sin(n)\ }{n}-\frac{\sin(n^2)\ }{n}\bigg)=0.892215\)

\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)\ }{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)\ }{n}-0.892215=\frac{\pi-1}{2}-0.892215=0.178503\)

评分

参与人数 1威望 +4 贡献 +4 收起 理由
ejsoon + 4 + 4 赞一个!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-21 05:56:25 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-21 07:18:03 来自手机 | 显示全部楼层
上一个帖子错的,一开始给出求和和积分收敛性等价这个性质是有问题的,仅对单调函数成立
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-21 07:21:36 来自手机 | 显示全部楼层
条件收敛比较符合直觉。mathoverflow的结论比较可靠
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-21 09:33:37 | 显示全部楼层
$\int_1^{\infty } \frac{\sin \left(n^2\right)}{n}  dn = \frac{1}{4} (\pi -2 \text{Si}(1)) =0.312357 $,然后 级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^2)}{n} $不知道可以跟这个有什么关系。

点评

是的,楼主问题用传统方法很难判别收敛性,主要是正弦是无理周期,而自变量是自然数的幂,太不规律了。  发表于 2021-9-23 11:09
欧拉-麦克劳林公式我觉得对于这个数列不一定适用,直觉上应该不行,它太不规律了。  发表于 2021-9-23 08:58
嗯,但是还有余项,并不收敛  发表于 2021-9-21 10:40
欧拉-麦克劳林求和公式  发表于 2021-9-21 10:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-9-28 14:05:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 Ickiverar 于 2021-9-28 14:08 编辑

$\sum_n \sin(n^2)/n = \sum_{n,k} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} n^(4k+1) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\zeta(-4k-1) = ???$

点评

估计这样搞不出来结果。最后的求和是发散的,而且对震荡级数乱序求和并不总能得到正确结果。  发表于 2021-9-28 15:27
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-28 15:30:46 | 显示全部楼层
光看一个点可能看不出什么规律,可以令

$f(a,b)=\sum_{n=1}^{\infty}{sin(n^a)}/{n^b}$

然后将$a$、$b$取遍所有的正整数,

然后把$f(a,b)$这个曲面画出来看看,

或许就看出规律来了。

有了一般的规律,

楼主要研究的$f(2,1)$这个地方是什么样子的,

就可以看得很清楚了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-11 07:19:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-11 17:42 编辑

跟这串数的奇偶有关。\(\D a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{0, 1, 2, 5, 7, 11, 15, 20, 25, 31, 38, 45, 53, 62, 71, 81, 91, 103, 114, 127, 140, 154, 168, 183, 198, ...}
\(\D a(n)=\mod(\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi},\ \ 2)=\mod(\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor,\ \ 2)\)
{0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0,...}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-10-24 20:00 , Processed in 0.152574 second(s), 24 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表