级数 sin(n^2)/n

Ickiverar

这个级数的数值求和如何计算？我有5%的把握它收敛到一个0.16开头的小数上，但我对这个精度和确信度十分不满意。
Mathematica和wolfram alpha都直接GG，百度了一下也没找到答案。
目前我十分怀疑这是一个历史著名开放问题，被研究透了结论是没法计算的那种。

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^2)}{n}$

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-11 07:19
跟这串数的奇偶有关。\(\D a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{ ...

\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{\sin(n)\ }{n}-\frac{\sin(n^2)\ }{n}\bigg)=0.892215\)

\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)\ }{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)\ }{n}-0.892215=\frac{\pi-1}{2}-0.892215=0.178503\)

wayne

应该是发散的。https://newbedev.com/on-the-conv ... -left-n-a-right-n-b
不过，这个帖子说是条件收敛： https://math.stackexchange.com/q ... c-sin-n2n-converges

mathe

上一个帖子错的，一开始给出求和和积分收敛性等价这个性质是有问题的，仅对单调函数成立

mathe

条件收敛比较符合直觉。mathoverflow的结论比较可靠

wayne

$\int_1^{\infty } \frac{\sin \left(n^2\right)}{n}  dn = \frac{1}{4} (\pi -2 \text{Si}(1)) =0.312357 $，然后 级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^2)}{n} $不知道可以跟这个有什么关系。

Ickiverar

$\sum_n \sin(n^2)/n = \sum_{n,k} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} n^(4k+1) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\zeta(-4k-1) = ???$

KeyTo9_Fans

光看一个点可能看不出什么规律，可以令

$f(a,b)=\sum_{n=1}^{\infty}{sin(n^a)}/{n^b}$

然后将$a$、$b$取遍所有的正整数，

然后把$f(a,b)$这个曲面画出来看看，

或许就看出规律来了。

有了一般的规律，

楼主要研究的$f(2,1)$这个地方是什么样子的，

就可以看得很清楚了。

王守恩

跟这串数的奇偶有关。\(\D a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{0, 1, 2, 5, 7, 11, 15, 20, 25, 31, 38, 45, 53, 62, 71, 81, 91, 103, 114, 127, 140, 154, 168, 183, 198, ...}
\(\D a(n)=\mod(\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi},\ \ 2)=\mod(\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor,\ \ 2)\)
{0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0,...}