TSC999 发表于 2021-9-28 18:28:55

如果函数 $f(2x)=f(-3y)$，能否断定 $2x=-3y$ ？

已知 $x, y$ 为实数，且满足 $(2x+\sqrt{1+4x^2})(3y+\sqrt{1+9y^2})=1$，证明 $2x=-3y$。

下面的证明过程对不对？

因为$(2x+\sqrt{1+4x^2})(3y+\sqrt{1+9y^2})=1$，所以 $2x+\sqrt{1+4x^2}=1/(3y+\sqrt{1+9y^2})=(-3y+\sqrt{1+(-3y)^2})$， 即

$f(2x)=f(-3y)$，所以 $2x=-3y$。

uk702 发表于 2021-9-28 18:40:44

\( f(x) = x+\sqrt{1+x^2}\) 似是一个单调函数，所以 \(f(2x) = f(-3y) \implies 2x = -3y \)

markfang2050 发表于 2021-9-28 18:56:44

本帖最后由 markfang2050 于 2021-9-28 18:58 编辑

这不是在胡扯证明吗？你能证明f是一 一对应映射？多映射咋办？

wayne 发表于 2021-9-28 19:26:28

证明 先补上 2楼的单调性声明 就完整了，即 \( f(x) = x+\sqrt{1+x^2}\) 是一个单调函数. 对于单调函数$f(x)$, 若$f(x)=f(y)$,则$x=y$

TSC999 发表于 2021-9-28 19:44:18

噢，明白了， 例如 $sinx=siny$，不能得出 $x=y$。
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