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[讨论] 如果函数 $f(2x)=f(-3y)$,能否断定 $2x=-3y$ ?

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发表于 2021-9-28 18:28:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
已知 $x, y$ 为实数,且满足 $(2x+\sqrt{1+4x^2})(3y+\sqrt{1+9y^2})=1$,证明 $2x=-3y$。

下面的证明过程对不对?

因为  $(2x+\sqrt{1+4x^2})(3y+\sqrt{1+9y^2})=1$,所以 $2x+\sqrt{1+4x^2}=1/(3y+\sqrt{1+9y^2})=(-3y+\sqrt{1+(-3y)^2})$, 即

$f(2x)=f(-3y)$,所以 $2x=-3y$。
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发表于 2021-9-28 18:40:44 | 显示全部楼层
\( f(x) = x+\sqrt{1+x^2}\) 似是一个单调函数,所以 \(f(2x) = f(-3y) \implies 2x = -3y \)

点评

那就是说不单调就不一定成立?请举个简单例子说明。  发表于 2021-9-28 18:46
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发表于 2021-9-28 18:56:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 markfang2050 于 2021-9-28 18:58 编辑

这不是在胡扯证明吗?你能证明f是一 一对应映射?多映射咋办?
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发表于 2021-9-28 19:26:28 | 显示全部楼层
证明 先补上 2楼的单调性声明 就完整了,即 \( f(x) = x+\sqrt{1+x^2}\) 是一个单调函数. 对于单调函数$f(x)$, 若$f(x)=f(y)$,则$x=y$
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 楼主| 发表于 2021-9-28 19:44:18 | 显示全部楼层
噢,明白了, 例如 $sinx=siny$,不能得出 $x=y$。

点评

正因为 sin 不单调,所以不能得出 x=y 。没毛病。  发表于 2021-9-29 06:55
但是sin并不单调啊  发表于 2021-9-28 20:18
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