楼主的文章非常好，不知楼主能否继续发布剩余论文。
本帖最后由 TSC999 于 2021-10-8 20:18 编辑
楼主先生，您前几天在回复另一帖子中发布了如下程序，在学习该程序时，觉得最后显示的那个结论公式太复杂，它应该等于零才对。
我试着改了一下最后那条语句，计算表明两组线段长度之比确实等于零。我觉得我改写后的语句可能还不是最优的，有没有更好的写法？
Clear["Global`*"]; (*creasson编写的有理参数构图程序*)
points = {A -> 0, B -> 1, P -> (1 + I p)/(1 - I u),
T -> (1 + I q)/(1 - I v)};(*设点*)
vectors =
Factor[{v1 -> Limit*u^2, u -> \],
v2 -> Limit*v^2,
v -> \]}];(*在A处的两条切线的切向量*)
CDEQ = (Factor]] //
Numerator) & /@ ({(T - A)/v1, (P - A)/v2} /. points /.
vectors);(*求C,D*)
CDsol = Solve // Flatten;
points = Union[
points, {C -> (T /. points /. CDsol),
D -> (P /. points /. CDsol)}] // Factor;
(*求E,F*)
EFEQ = (Factor]] //
Numerator) & /@ ({(P - B)/(C - B), (T - B)/(D - B)} /. points);
EFsol = Solve[[-1]];
points = Union[
points, {E -> (P /. points /. EFsol),
F -> (T /. points /. EFsol)}] // Factor;
(*求M,N*)
points = Union //
Factor;
points = Union[
points, {M -> \*D + (1 - \) A,
N -> \*C + (1 - \) A} /. points] // Factor;
MNEQ = (Factor]] //
Numerator) & /@ ({(M - O1)/(E - O1), (N - O2)/(F - O2)} /.
points);
MNsol = Solve, \}] // Flatten;
points = Factor;(*求点Q*)
points = Union}] // Factor;
QEQ = (Factor]] //
Numerator) & /@ ({(M - Q)/(N - Q)} /. points);
Qsol = Solve}] // Factor // Flatten;
points = Factor;
squarelens =
Factor^2]] & /@ ({B - D, B - C, Q - M,
Q - N} /. points);(*结论*)
target = Factor[(squarelens[]/squarelens[]) - (squarelens[]/
squarelens[])];
Print["points = ", points];(*显示*)
(*Print["target = ",target]; 原语句 *)
Print["target = ",
Simplify];(*把上面的原语句加上Simplify，计算结果会简化一些，但还不是最简*)
(*把上面的原语句改为下面几条语句，将给出目标式的最简结果*)
k1 = ExpandDenominator@
Together@ComplexExpand@Simplify /. points];
k2 = ExpandDenominator@
Together@ComplexExpand@Simplify /. points];
DB/BC -> k1
MQ/NQ -> k2
If]
程序运行结果如下（用图片表示：）
TSC999 发表于 2021-10-8 20:11
楼主先生，您前几天在回复另一帖子中发布了如下程序，在学习该程序时，觉得最后显示的那个结论公式太复杂， ...
您客气， 改为如下就好了:
values = Factor[
ComplexExpand[
Abs[#]]] & /@ (Factor[{(B - D)/(B - C), (Q - M)/(Q - N)} /.
points]);
DB/BC -> values[]
MQ/NQ -> values[]
If] - values[] == 0,
Print["由于 DB/BC-MQ/NQ = 0，所以 DB/BC = MQ/NQ"]]
楼主与我的最大共识是向量商，不过学术界争议很大。
dlsh 发表于 2021-10-9 20:32
楼主与我的最大共识是向量商，不过学术界争议很大。
向量商不是必要的概念，可以只用共轭乘积， 只因向量商的表示更简单一些。复斜率就完全没必要了, 切向量是最合适的。学术界有争议倒没关系，只要能自圆其说，都是好工具。:lol
https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/202106/19/224741xqp1ouqpq7qn1cip.png
不用向量商如何描述这条结论，用直线方程求解、判断角相等复斜率当然有必要。
无论三角形内外，都有：
\(\frac{\overrightarrow{OD}}{\overrightarrow{AD}}+\frac{\overrightarrow{OE}}{\overrightarrow{BE}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\overrightarrow{CF}}=1\)
http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2046876&extra=
本帖最后由 creasson 于 2021-10-11 10:02 编辑
dlsh 发表于 2021-10-10 23:08
不用向量商如何描述这条结论，用直线方程求解、判断角相等复斜率当然有必要。
无论三角形内外，都有： ...
用不使用向量商概念的体系来证明一个向量商表示的等式，这是难以做到的。不过也不是完全没办法
可以改造等式为
\[\frac{{\mathop {BC}\limits^ \to \otimes \mathop {AH}\limits^ \to}}{{\mathop {AH}\limits^ \to \otimes \mathop {AH}\limits^ \to}}{\rm{ + }}\frac{{\mathop {CA}\limits^ \to \otimes \mathop {BH}\limits^ \to}}{{\mathop {BH}\limits^ \to \otimes \mathop {BH}\limits^ \to}} + \frac{{\mathop {AB}\limits^ \to \otimes \mathop {CH}\limits^ \to}}{{\mathop {CH}\limits^ \to \otimes \mathop {CH}\limits^ \to}} =- \frac{{\mathop {BC}\limits^ \to \otimes \mathop {AH}\limits^ \to}}{{\mathop {AH}\limits^ \to \otimes \mathop {AH}\limits^ \to}} \cdot \frac{{\mathop {CA}\limits^ \to \otimes \mathop {BH}\limits^ \to}}{{\mathop {BH}\limits^ \to \otimes \mathop {BH}\limits^ \to}} \cdot \frac{{\mathop {AB}\limits^ \to \otimes \mathop {CH}\limits^ \to}}{{\mathop {CH}\limits^ \to \otimes \mathop {CH}\limits^ \to}}\]
这个表示复杂一些，不过可以用共轭乘积来做。
\[\mathop b\limits^ \to \otimes \mathop a\limits^ \to = |\mathop a\limits^ \to|{\rm{|}}\mathop b\limits^ \to|\cos \theta+ i|\mathop a\limits^ \to|{\rm{|}}\mathop b\limits^ \to|\sin \theta \]
其中$ \theta $为由向量$ \vec {a} $ 逆时针旋转为$ \vec {b} $ 所经历的角度。右方实部为通常的内积，虚部为通常的外积。 在一般$n$维空间上则是由cllifford所定义的运算。
三点共线也就是三角形的面积为0：
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\mathop {AB}\limits^ \to \otimes \mathop {AC}\limits^ \to) = 0\]
或者
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\mathop {OA}\limits^ \to \otimes \mathop {OB}\limits^ \to + \mathop {OB}\limits^ \to \otimes \mathop {OC}\limits^ \to + \mathop {OC}\limits^ \to \otimes \mathop {OA}\limits^ \to) = 0\]
至于角度，则是
\[{e^{i\theta }} = \frac{{\mathop b\limits^ \to \otimes \mathop a\limits^ \to}}{{|\mathop b\limits^ \to||\mathop a\limits^ \to|}}\]
以上也就避开了直接使用向量商，当然，由向量共轭乘积的定义也可以导出向量商。这些在书中都有写到。
我并不把 $ \frac{\vec {b}} {\vec {a}} $ 看作是$ \vec {b} $ 除以 $ \vec {a} $ ，而仅是当做由 $ \vec {a} $ 到$ \vec {b} $ 所经历的一个旋转缩放变换，它可以用其它的记号来表示，只是 $ \frac{\vec {b}} {\vec {a}} $的表示更简明，而且当 $ \vec {a} $, $ \vec {b} $取复数形式时，它与通常的除法定义无区别。
本帖最后由 creasson 于 2021-10-11 10:28 编辑
不过也感谢你@dlsh提出了这一问题，使得我意识到应将书中除法定义放在共轭乘积定义之后，否则有点本末倒置的意味。