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楼主: creasson

[分享] 有理表示在初等欧氏几何中的应用

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发表于 2021-10-8 13:07:25 | 显示全部楼层
楼主的文章非常好,不知楼主能否继续发布剩余论文。

点评

写完后看是否有感兴趣的出版社,到时再看是否发布  发表于 2021-10-8 18:08
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-8 20:11:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-10-8 20:18 编辑

楼主先生,您前几天在回复另一帖子中发布了如下程序,在学习该程序时,觉得最后显示的那个结论公式太复杂,它应该等于零才对。

我试着改了一下最后那条语句,计算表明两组线段长度之比确实等于零。我觉得我改写后的语句可能还不是最优的,有没有更好的写法?

图1.png

  1. Clear["Global`*"];   (*creasson编写的有理参数构图程序*)
  2. points = {A -> 0, B -> 1, P -> (1 + I p)/(1 - I u),
  3.   T -> (1 + I q)/(1 - I v)};(*设点*)
  4. vectors =
  5. Factor[{v1 -> Limit[D[P /. points, u]*u^2, u -> \[Infinity]],
  6.    v2 -> Limit[D[T /. points, v]*v^2,
  7.      v -> \[Infinity]]}];(*在A处的两条切线的切向量*)
  8. CDEQ = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]] //
  9.      Numerator) & /@ ({(T - A)/v1, (P - A)/v2} /. points /.
  10.     vectors);(*求C,D*)
  11. CDsol = Solve[CDEQ == 0, {u, v}] // Flatten;
  12. points = Union[
  13.     points, {C -> (T /. points /. CDsol),
  14.      D -> (P /. points /. CDsol)}] // Factor;
  15. (*求E,F*)
  16. EFEQ = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]] //
  17.       Numerator) & /@ ({(P - B)/(C - B), (T - B)/(D - B)} /. points);
  18. EFsol = Solve[EFEQ == 0, {u, v}][[-1]];
  19. points = Union[
  20.     points, {E -> (P /. points /. EFsol),
  21.      F -> (T /. points /. EFsol)}] // Factor;
  22. (*求M,N*)
  23. points = Union[points, {O1 -> (1 + I p)/2, O2 -> (1 + I q)/2}] //
  24.    Factor;
  25. points = Union[
  26.     points, {M -> \[Lambda]*D + (1 - \[Lambda]) A,
  27.       N -> \[Mu]*C + (1 - \[Mu]) A} /. points] // Factor;
  28. MNEQ = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]] //
  29.       Numerator) & /@ ({(M - O1)/(E - O1), (N - O2)/(F - O2)} /.
  30.      points);
  31. MNsol = Solve[MNEQ == 0, {\[Lambda], \[Mu]}] // Flatten;
  32. points = Factor[points /. MNsol];(*求点Q*)
  33. points = Union[points, {Q -> \[Eta]}] // Factor;
  34. QEQ = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]] //
  35.       Numerator) & /@ ({(M - Q)/(N - Q)} /. points);
  36. Qsol = Solve[QEQ == 0, {\[Eta]}] // Factor // Flatten;
  37. points = Factor[points /. Qsol];

  38. squarelens =
  39. Factor[ComplexExpand[Abs[#]^2]] & /@ ({B - D, B - C, Q - M,
  40.      Q - N} /. points);(*结论*)
  41. target = Factor[(squarelens[[1]]/squarelens[[2]]) - (squarelens[[3]]/
  42.      squarelens[[4]])];
  43. Print["points = ", points];(*显示*)
  44. (*Print["target = ",target]; 原语句 *)
  45. Print["target = ",
  46. Simplify[target]];(*把上面的原语句加上Simplify,计算结果会简化一些,但还不是最简*)
  47. (*把上面的原语句改为下面几条语句,将给出目标式的最简结果*)
  48. k1 = ExpandDenominator@
  49.   Together@ComplexExpand@Simplify[Abs[(B - D)/(B - C)] /. points];
  50. k2 = ExpandDenominator@
  51.    Together@ComplexExpand@Simplify[Abs[(Q - M)/(Q - N)] /. points];
  52. DB/BC -> k1
  53. MQ/NQ -> k2
  54. If[k1 - k2 == 0, Print["由于 DB/BC-MQ/NQ = 0,所以 DB/BC = MQ/NQ"]]
复制代码


程序运行结果如下(用图片表示:)

运行结果.png
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 楼主| 发表于 2021-10-8 21:16:12 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2021-10-8 20:11
楼主先生,您前几天在回复另一帖子中发布了如下程序,在学习该程序时,觉得最后显示的那个结论公式太复杂, ...


您客气, 改为如下就好了:
  1. values = Factor[
  2.      ComplexExpand[
  3.       Abs[#]]] & /@ (Factor[{(B - D)/(B - C), (Q - M)/(Q - N)} /.
  4.       points]);
  5. DB/BC -> values[[1]]
  6. MQ/NQ -> values[[2]]
  7. If[values[[1]] - values[[2]] == 0,
  8. Print["由于 DB/BC-MQ/NQ = 0,所以 DB/BC = MQ/NQ"]]
复制代码

点评

这个语句简捷优美。  发表于 2021-10-9 11:10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-10-9 20:32:55 | 显示全部楼层
楼主与我的最大共识是向量商,不过学术界争议很大。

点评

是的,有一样的地方,都离不开向量。但是楼主不强调向量商和向量的共轭比。例如对于直线,不使用复斜率概念。对于共轭复数似乎也用得不多。  发表于 2021-10-10 10:49
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-10-10 15:00:33 | 显示全部楼层
dlsh 发表于 2021-10-9 20:32
楼主与我的最大共识是向量商,不过学术界争议很大。

向量商不是必要的概念,可以只用共轭乘积, 只因向量商的表示更简单一些。复斜率就完全没必要了, 切向量是最合适的。学术界有争议倒没关系,只要能自圆其说,都是好工具。
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发表于 2021-10-10 23:08:03 | 显示全部楼层

不用向量商如何描述这条结论,用直线方程求解、判断角相等复斜率当然有必要。

向量商之和

向量商之和

无论三角形内外,都有:
\(\frac{\overrightarrow{OD}}{\overrightarrow{AD}}+\frac{\overrightarrow{OE}}{\overrightarrow{BE}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\overrightarrow{CF}}=1\)

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对于Ceva定理,向量商描述更准确  发表于 2021-10-10 23:09
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发表于 2021-10-10 23:11:31 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2021-10-11 09:59:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 creasson 于 2021-10-11 10:02 编辑
dlsh 发表于 2021-10-10 23:08
不用向量商如何描述这条结论,用直线方程求解、判断角相等复斜率当然有必要。

无论三角形内外,都有: ...


用不使用向量商概念的体系来证明一个向量商表示的等式,这是难以做到的。不过也不是完全没办法
可以改造等式为
\[\frac{{\mathop {BC}\limits^ \to   \otimes \mathop {AH}\limits^ \to  }}{{\mathop {AH}\limits^ \to   \otimes \mathop {AH}\limits^ \to  }}{\rm{ + }}\frac{{\mathop {CA}\limits^ \to   \otimes \mathop {BH}\limits^ \to  }}{{\mathop {BH}\limits^ \to   \otimes \mathop {BH}\limits^ \to  }} + \frac{{\mathop {AB}\limits^ \to   \otimes \mathop {CH}\limits^ \to  }}{{\mathop {CH}\limits^ \to   \otimes \mathop {CH}\limits^ \to  }} =  - \frac{{\mathop {BC}\limits^ \to   \otimes \mathop {AH}\limits^ \to  }}{{\mathop {AH}\limits^ \to   \otimes \mathop {AH}\limits^ \to  }} \cdot \frac{{\mathop {CA}\limits^ \to   \otimes \mathop {BH}\limits^ \to  }}{{\mathop {BH}\limits^ \to   \otimes \mathop {BH}\limits^ \to  }} \cdot \frac{{\mathop {AB}\limits^ \to   \otimes \mathop {CH}\limits^ \to  }}{{\mathop {CH}\limits^ \to   \otimes \mathop {CH}\limits^ \to  }}\]

这个表示复杂一些,不过可以用共轭乘积来做。
\[\mathop b\limits^ \to   \otimes \mathop a\limits^ \to   = |\mathop a\limits^ \to  |{\rm{|}}\mathop b\limits^ \to  |\cos \theta  + i|\mathop a\limits^ \to  |{\rm{|}}\mathop b\limits^ \to  |\sin \theta \]
其中$ \theta $为由向量$ \vec {a} $ 逆时针旋转为$ \vec {b} $ 所经历的角度。右方实部为通常的内积,虚部为通常的外积。 在一般$n$维空间上则是由cllifford所定义的运算。

三点共线也就是三角形的面积为0:
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\mathop {AB}\limits^ \to   \otimes \mathop {AC}\limits^ \to  ) = 0\]
或者
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\mathop {OA}\limits^ \to   \otimes \mathop {OB}\limits^ \to   + \mathop {OB}\limits^ \to   \otimes \mathop {OC}\limits^ \to   + \mathop {OC}\limits^ \to   \otimes \mathop {OA}\limits^ \to  ) = 0\]

至于角度,则是
\[{e^{i\theta }} = \frac{{\mathop b\limits^ \to   \otimes \mathop a\limits^ \to  }}{{|\mathop b\limits^ \to  ||\mathop a\limits^ \to  |}}\]

以上也就避开了直接使用向量商,当然,由向量共轭乘积的定义也可以导出向量商。这些在书中都有写到。


点评

对于平面向量,没有必要那么复杂,只要应用复数即可,  发表于 2021-10-11 19:41
想要将向量的比值(商)具有唯一结果,就必须给定内积和外积,其实这个东西在克利福德代数中有体现,在克利福德的几何代数中,两个矢量的几何积定义为ab=a·b+a∧b。其中·是内积,^是外积——矢量又只是张量的特例…   发表于 2021-10-11 18:42
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 楼主| 发表于 2021-10-11 10:19:12 | 显示全部楼层
我并不把 $ \frac{\vec {b}} {\vec {a}} $ 看作是$ \vec {b} $ 除以 $ \vec {a} $ ,而仅是当做由 $ \vec {a} $ 到$ \vec {b} $ 所经历的一个旋转缩放变换,它可以用其它的记号来表示,只是 $ \frac{\vec {b}} {\vec {a}} $的表示更简明,而且当 $ \vec {a} $, $ \vec {b} $取复数形式时,它与通常的除法定义无区别。

点评

向量商本质就是表示两个向量旋转缩放变换。  发表于 2021-10-11 19:43
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 楼主| 发表于 2021-10-11 10:27:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 creasson 于 2021-10-11 10:28 编辑

不过也感谢你@dlsh提出了这一问题,使得我意识到应将书中除法定义放在共轭乘积定义之后,否则有点本末倒置的意味。

点评

不客气,感谢你写了这么一本精彩的书,期待早日出版,另外建议增加复数引进数学的历史。  发表于 2021-10-11 19:44
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