有理表示在初等欧氏几何中的应用

大漠孤烟

大漠孤烟 发表于 2021-10-18 23:13
判断切点三角形是内切或者旁切，等价于判断切点三角形是锐角三角形还是钝角三角形；判断一个三角形是锐角 ...

不过根据费尔巴哈点的公式的复数形式，可以推断费尔巴哈点、内心、切点三角形的两个老封点组成调和四边形，这个是比较奇特的。

dlsh

如何表示S和T，对于旁切圆有时它们不存在

creasson

dlsh 发表于 2021-11-11 13:05
如何表示S和T，对于旁切圆有时它们不存在

复平面上，三角形$\triangle ABC$的内心旁心$z$满足方程：
\[\mathop A\limits^\_ (B - C){({z^2} - 2Az + AB - BC + CA)^2} + \mathop B\limits^\_(C - A){({z^2} - 2Bz + AB + BC - CA)^2} + \mathop C\limits^\_ (A - B){({z^2} - 2Cz - AB + BC + CA)^2} = 0\]

区分：
内心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) > 0\]
A-旁心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) < 0,\quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) > 0\]
B-旁心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) < 0,\quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) > 0\]
C-旁心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) > 0,\quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) < 0\]

dlsh

kastin 发表于 2021-10-11 23:35
我记得德国数学家克莱因曾对几何学说过一句概括本质的话：几何是研究空间中运动不变量的学科。比如欧氏几何 ...

老师说：
考虑到自由向量的特征是长度和方向(从线性代数的角度来看，有没有长度和方向是无所谓的，只要矢量满足
一定运算性质，如线性性质等即可)，自然会想到采用用极坐标表达，得到一个长度和和一个方向角的数值，而复数的定义就是幅角和模长，正好符合这一特点，于是很自然地就能想到用复数来表示几何中的向量。至于除法的定义，其实直接可以看成是复数的除法，或者乘以复数的逆而已。因为复数的除法就是模长相除，辐角角相减，其本质就是“向量商”这个运算。但它存在一个问题，同样一个复数表达的向量，根本无法区分向量是否发生了平移。因为长度和方向在平移变换下是不变的。这个距离必须引入点积和叉积(有的书中叫外积)才能确定，而复数是没有内积和外积运算的，向量的内积和外积运算又是基于直角坐标系的表达，所以复数只能引入共轭乘积产生点积和叉积，才能与复数在复平面上的定义相兼容。

谢谢老师认真答复，期望解答下列问题 。
1 “复数的逆”指什么？
2 因为复数的除法就是模长相除，辐角角相减，其本质就是“向量商”这个运算。
向量商在复平面内是可以这样理解，但是在平面内，就没有对应辐角，所以二者有区别，向量有长度，是一个几何量，复数没有。
3 同样一个复数表达的向量，根本无法区分向量是否发生了平移。因为长度和方向在平移变换下是不变的。这个距离必须引入点积和叉积(有的书中叫外积)才能确定，
请问点积和叉积如何确定移动的距离？
4 而复数是没有内积和外积运算的，向量的内积和外积运算又是基于直角坐标系的表达，所以复数只能引入共轭乘积产生点积和叉积，才能与复数在复平面上的定义相兼容。
楼主定义了向量的共轭乘积，不是复数共轭乘积，即不依赖复平面，这种乘积不具备交换性，下图中共轭乘积似乎与向量与复数的乘积不完全兼容，即不能交换

向量商

\(\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AB}}=\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}}\Rightarrow\begin{cases}
\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AE}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC}}\\
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}(\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}})=\overrightarrow{AE}\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC}}\right)
\end{cases}\)

dlsh

数学中的直观、定义与表达一般不能说定义的对错（Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well，every definition is correct”），只能说定义的优劣。一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律，启迪思维，引导有意义的研究方向。在极端的情形，甚至一个好的定义就解决了问题。
对于复数，除法是乘法的逆运算，对于向量商“满足完备性和最小原则”即可。
数学家S．T．Stan ders的研究表明：目前普遍认 可的数学特征是：推理的确定性和结论的一致性．很 显然，只有存在数学的确定性，才意味着根据此结论 推导出来的其他结论也是确定的．他认为，在推理过 程中只要具备以下几个条件就可以说明推理的过程 和结论具有确定性． (1)每一个被应用的元素(数、量或者运算)， 有且只有一个确定的值； (2)这些符号所代表的值是被普遍接受的； (3)每一个运算符号都有唯一确定的意义； (4)这些运算符号的意义也被普遍接受； (5)模糊的或者不确定的元素不能出现在推理过程中。
向量商可以解释复数方法的计算结果，即发现这些结果的几何意义，本质是说明两向量的数量和位置关系，即旋转和伸缩。