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楼主: creasson

[分享] 有理表示在初等欧氏几何中的应用

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发表于 2021-11-11 13:05:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2021-11-11 13:06 编辑

如何表示S和T,对于旁切圆有时它们不存在

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看你怎么设点的表示了  发表于 2021-11-11 14:26
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-11 14:24:08 | 显示全部楼层
dlsh 发表于 2021-11-11 13:05
如何表示S和T,对于旁切圆有时它们不存在


复平面上,三角形$\triangle ABC$的内心旁心$z$满足方程:
\[\mathop A\limits^\_ (B - C){({z^2} - 2Az + AB - BC + CA)^2} + \mathop B\limits^\_(C - A){({z^2} - 2Bz + AB + BC - CA)^2} + \mathop C\limits^\_ (A - B){({z^2} - 2Cz - AB + BC + CA)^2} = 0\]

区分:
内心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) > 0\]
A-旁心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) < 0,\quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) > 0\]
B-旁心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) < 0,\quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) > 0\]
C-旁心:  \[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - A}}{{B - A}}) > 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - B}}{{C - B}}) > 0,\quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{z - C}}{{A - C}}) < 0\]

点评

谢谢老师  发表于 2021-11-11 21:27
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-12-4 21:59:59 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2021-10-11 23:35
我记得德国数学家克莱因曾对几何学说过一句概括本质的话:几何是研究空间中运动不变量的学科。比如欧氏几何 ...

老师说:
考虑到自由向量的特征是长度和方向(从线性代数的角度来看,有没有长度和方向是无所谓的,只要矢量满足
一定运算性质,如线性性质等即可),自然会想到采用用极坐标表达,得到一个长度和和一个方向角的数值,而复数的定义就是幅角和模长,正好符合这一特点,于是很自然地就能想到用复数来表示几何中的向量。至于除法的定义,其实直接可以看成是复数的除法,或者乘以复数的逆而已。因为复数的除法就是模长相除,辐角角相减,其本质就是“向量商”这个运算。但它存在一个问题,同样一个复数表达的向量,根本无法区分向量是否发生了平移。因为长度和方向在平移变换下是不变的。这个距离必须引入点积和叉积(有的书中叫外积)才能确定,而复数是没有内积和外积运算的,向量的内积和外积运算又是基于直角坐标系的表达,所以复数只能引入共轭乘积产生点积和叉积,才能与复数在复平面上的定义相兼容。

谢谢老师认真答复,期望解答下列问题 。
1 “复数的逆”指什么?
2 因为复数的除法就是模长相除,辐角角相减,其本质就是“向量商”这个运算。
向量商在复平面内是可以这样理解,但是在平面内,就没有对应辐角,所以二者有区别,向量有长度,是一个几何量,复数没有。
3 同样一个复数表达的向量,根本无法区分向量是否发生了平移。因为长度和方向在平移变换下是不变的。这个距离必须引入点积和叉积(有的书中叫外积)才能确定,
请问点积和叉积如何确定移动的距离?
4 而复数是没有内积和外积运算的,向量的内积和外积运算又是基于直角坐标系的表达,所以复数只能引入共轭乘积产生点积和叉积,才能与复数在复平面上的定义相兼容。
楼主定义了向量的共轭乘积,不是复数共轭乘积,即不依赖复平面,这种乘积不具备交换性,下图中共轭乘积似乎与向量与复数的乘积不完全兼容,即不能交换

向量商

向量商

\(\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AB}}=\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}}\Rightarrow\begin{cases}
\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AE}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC}}\\
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}(\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}})=\overrightarrow{AE}\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC}}\right)
\end{cases}\)

点评

“数学只是用于描述的工具,工具满足完备性和最小原则即可”,学生基础差,请老师 谅解。向量可以用复数表示,但是二者不等价。脱离复平面,向量商的几何意义是明确的,就是两向量之间的数量和位置关系 。  发表于 2021-12-20 21:53
向量的共轭乘积表征的是向量之间的旋转缩放关系,不具备交换性,这是显然的。 如kastin所说,数学只是用于描述的工具,工具满足完备性和最小原则即可,这里的复数也是完全可以用矩阵来替代。  发表于 2021-12-8 11:02
不知如何回答,关于复数的意义,历史上存在多种理解。我将复数用于平面几何,其所表示的仅是向量的旋转缩放变换,同构于矩阵表示。向量通常用起始两点表示,这就无须说明是否平移。向量内积和外积定义不依赖于坐标。  发表于 2021-12-8 10:53
数学的本质是规则,而不是名词本身。至于逆是什么,你难道不知道除法的本质就是乘法(相当于乘以逆元)?代数理论里面只有乘法,除法是从乘法衍生的。你学点线性代数吧。跟你交流很困难。最后你的例子在复数中也成立。  发表于 2021-12-5 13:34
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-12-23 22:12:01 | 显示全部楼层
数学中的直观、定义与表达一般不能说定义的对错(Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well,every definition is correct”),只能说定义的优劣。一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律,启迪思维,引导有意义的研究方向。在极端的情形,甚至一个好的定义就解决了问题。
对于复数,除法是乘法的逆运算,对于向量商“满足完备性和最小原则”即可。
数学家S.T.Stan ders的研究表明:目前普遍认 可的数学特征是:推理的确定性和结论的一致性.很 显然,只有存在数学的确定性,才意味着根据此结论 推导出来的其他结论也是确定的.他认为,在推理过 程中只要具备以下几个条件就可以说明推理的过程 和结论具有确定性. (1)每一个被应用的元素(数、量或者运算), 有且只有一个确定的值; (2)这些符号所代表的值是被普遍接受的; (3)每一个运算符号都有唯一确定的意义; (4)这些运算符号的意义也被普遍接受; (5)模糊的或者不确定的元素不能出现在推理过程中。
向量商可以解释复数方法的计算结果,即发现这些结果的几何意义,本质是说明两向量的数量和位置关系,即旋转和伸缩。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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