有理表示在初等欧氏几何中的应用

TSC999

看了楼主关于圆的表示的那部分论文。发现有一处笔误：



上图中第一行开始，a=1,  b=0,  c=0,  d=1  应改为  a=1,  b=0,  c=s,  d=0

dlsh

creasson 发表于 2021-10-12 22:21
感谢指出，确实是错了，条件应是
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} ({z_1}) > 0, \quad
{\mathop{\rm Im}\ ...

上面的例子中，这两式消去 z1, 得到
(z2 − z3)(1 − 2z2 − 2z3 + z2z3) = 0
如果 1 − 2z2 − 2z3 + z2z3 = 0, 移项有
1 − 2z2 − 2z3 = −z2z3
左方的实部是大于 1 的, 因此模大于 1, 而右方的模等于 1, 矛盾, 因此只能是 z2 = z3。
由上面的方程可以解出，这是另外一个解，前面的程序可以佐证，“左方的实部是大于 1 ”理由不充分。

creasson

dlsh 发表于 2021-10-15 20:44
上面的例子中，这两式消去 z1, 得到
(z2 − z3)(1 − 2z2 − 2z3 + z2z3) = 0
如果 1 ...

是的，可以作代换
\[ z_2 = \frac{1+i u}{1-iu}, z_3 = \frac{1+i v}{1-iv} \]
根据$Im(z_2) > 0 , Im(z_3) > 0$ 知 $ u >0 , v >0$
$1 - 2 z_2 - 2 z_3 + z_2 z_3 = 0$ 则成为 $1+ 3 u v = 0$, 这显然是不成立的。
不过这个代换属于后面部分的内容，所以目前我在考虑其他的方式。
如果没找到简便些的证明，那么可能将此题往书后挪。

dlsh

两对相似

解析几何可能更容易一些

TSC999

看了楼主关于圆的复数表示的文章， 啃了几天，基本上弄明白了。写了一点读书笔记如下，请楼主和网友指正。

creasson

TSC999 发表于 2021-10-16 13:11
看了楼主关于圆的复数表示的文章， 啃了几天，基本上弄明白了。写了一点读书笔记如下，请楼主和网友指正。
...

相当于描述了该参数表示与直角坐标表示的等价性， 但书的目的是专谈有理参数表示，而抛开传统直角坐标的思维方式。
直角坐标系的一个问题是基准固定，相当于指定三个基准点： (0,0), (1,0),(0,1)。若用向量旋转，则基准向量可以任意选择，前面三角形一节主要就是介绍这种处理方式，可能还是写得不太清晰，或者强调得少。

对于
\[\mathop {BP}\limits^ \to   = \frac{{1 + is}}{{1 - iu}}\mathop {BC}\limits^ \to  \]

根据 $u$取$\infty$和 $-s $ 即知它是恒过$B, C$两点的。
\[\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \mathop {BP}\limits^ \to   = \vec{0}， \mathop {\lim }\limits_{u \to  - s} \mathop {BP}\limits^ \to   = \mathop {BC}\limits^ \to \]

大漠孤烟

dlsh 发表于 2021-10-3 21:50
以内心或旁心为原点，小写字母表示各点对应的复数，费尔巴哈点可以表示为：
\(\frac{de+ef+fd}{d+e+f}\)
...

d+e+f表示切点三角形垂心，垂心的模小于1，说明垂心在切点三角形的外接圆内部，切点三角形为锐角三角形，这种情况下为内切模式。模大于1，垂心在切点三角形外接圆外部，切点三角形为钝角三角形，这种情况下为旁切模式。

dlsh

谢谢老师，假设d=1,e、f对应的辐角为x,y，原式变换成\(\frac{(cosx+isinx+cosy+isiny+cos(x+yi)+isin(x+y)}{cosx+isinx+cosy+isiny+1}=1，如果内切，|(cosx+isinx+cosy+isiny+cos(x+yi)+isin(x+y)<|cosx+isinx+cosy+isiny+1|\)，这个角度关系不好求

大漠孤烟

dlsh 发表于 2021-10-16 20:03
谢谢老师，假设d=1,e、f对应的辐角为x,y，原式变换成\(\frac{(cosx+isinx+cosy+isiny+cos(x+yi)+isin(x+y)} ...

判断切点三角形是内切或者旁切，等价于判断切点三角形是锐角三角形还是钝角三角形；判断一个三角形是锐角三角形还是钝角三角形，等价于判断该三角形的垂心是在其外接圆内部还是外部，等价于判断三角形垂心距离外心的距离是小于外接圆半径还是大于外接圆半径。本题中，等价于判断 d+e+f的模小于或大于内切圆半径。不要想复杂了，跟费尔巴哈点的模没有关系，费尔巴哈点始终在圆上。

大漠孤烟

大漠孤烟 发表于 2021-10-18 23:13
判断切点三角形是内切或者旁切，等价于判断切点三角形是锐角三角形还是钝角三角形；判断一个三角形是锐角 ...

不过根据费尔巴哈点的公式的复数形式，可以推断费尔巴哈点、内心、切点三角形的两个老封点组成调和四边形，这个是比较奇特的。