manthanein 发表于 2021-10-3 23:35:37

寻找这两个正整数

给定正整数\(A\)和\(B\)（\(A \leq B\)），已知\(A^2\)的各位数字之和为\(B\)，\(B^2\)的各位数字之和为\(A\)。
貌似只有13和16这一组解，谁能证明呢？

mathe 发表于 2021-10-4 07:14:11

这个很简单，设A 是m位数，B是n位数，于是$A^2$的数字和不超过18m, $B^2$的数字和不超过18n.
所以得出$18m\ge 10^{n-1}, 18n \ge 10^{m-1}$,于是马上得出$m\le 2, n\le 2$。
既然最多两位，穷举即可
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