$c_3=864$没有错，是浮点模拟代码弄错了，一个循环花括号加错地方了，导致$h>=3$的计算结果错误。
继续计算可以得出
$c_1=2, c_2=27, c_3=864,c_4=50000,c_5=4556250, c_6=600362847, c_7=107943428096, c_8=25389989167104, c_9=7566806425781250$
$c_{10}=2786246783310546875, c_{11}=1242122809681350254592, c_{12}=659293182044133484843008$
而n充分大时，k个人的概率趋向$\frac{c_k}{n^k} (\frac{k}{k+1})^n $
这里的结果我还是数值计算得出的，另外根据19#的递推式，使用可以求级数和极限的数学工具（比如Mathematica）应该可以一次得出$\lambda_{n,h}$的公式以及$c_n$的公式解
根据19#的信息我们有\(\lambda_{m,h}=\frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h \sum_{s=h}^{m}(\frac{h^2-1}{h^2})^s \lambda_{s-1,h-1}\)
而且\(\lambda_{m,1}=2\)
于是\(\lambda_{m,2}=12\sum_{s=2}^{m}(\frac34)^m=27(1-(\frac34)^{m-1})=27\times 1^m -36\times (\frac34)^m\)
设\(\lambda_{m,h}=\sum_{t=1}^h a_{h,t} d_{h,t}^m\), 于是\(a_{1,1}=2,d_{1,1}=1\)
得出\(\lambda_{m,h}=\frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h \sum_{s=h}^{m}(\frac{h^2-1}{h^2})^s\sum_{t=1}^{h-1} a_{h-1,t} d_{h-1,t}^{s-1}\)
即
\(\lambda_{m,h}=\frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h\sum_{t=1}^{h-1}\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}} \sum_{s=h}^{m}(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^s = \frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h\sum_{t=1}^{h-1}\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}}(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^h\frac{1-(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^{m-h+1}}{1-\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2}}\)
于是\(d_{h,1}=1,c_h=a_{h,1}= \frac{h+1}2 (\frac h{h-1})^h\sum_{t=1}^{h-1}\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}}(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^h\frac{1}{1-\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2}}\)
\(d_{h,t+1}=\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2}, a_{h,t+1}= -\frac{h+1}2 (\frac h{h-1})^h\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}}\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2-(h^2-1)d_{h-1,t}}\)
genv(n)=
{
local(a1,d1,a2,d2,r);
a1=vector(1);
d1=vector(1);
r=vector(n);
a1=2;d1=1;
r=a1;
for(h=2,n,
a2=vector(h); d2=vector(h);
d2=1;
for(t=1,h-1,
a2+=(h+1)/2 *(h/(h-1))^h *a1/d1*((h^2-1)*d1/h^2)^h/(1-(h^2-1)*d1/h^2)
);
for(t=1,h-1,
d2=(h^2-1)*d1/h^2;
a2=-(h+1)/2*(h/(h-1))^h*a1/d1*(h^2-1)*d1/(h^2-(h^2-1)*d1)
);
r=a2;
a1=a2;d1=d2;
);
r
}
? genv(50)
%6 =
验算得到
\(c_h = (\frac h2)^h(h+1)^{h+1}\)
也就是n次加入尝试，余下h个人的概率在n比较大时趋向\((\frac h{2n})^h(h+1)^{h+1}(\frac h{h+1})^n\)
跑了$10$天的程序模拟了$7.26$亿次$1$万人闯营的情况，
得到营中成员总数的期望值的$95%$置信区间为$2153.002\pm0.014$
营中成员的平均能力值随闯营人数$n$的变化规律为：
$f(n)=1-1/(0.798+0.476*ln(n+5.78*ln(n)-18.2))$
具体的模拟结果和函数$f(n)$的值如下表所示：
闯营人数平均能力值$f(n)$的值
$\ \ 100$ $0.669758$$0.669579$
$\ 1000$ $0.755718$$0.755697$
$10000$$0.806955$$0.806940$
$\ \ \ 10^90$ 无法模拟 $0.989934$
$\ \ \ 10^91$ 无法模拟 $0.990044$
也就是说，想要平均能力值达到$0.99$，大约需要$4*10^90$个成员尝试闯营才可以。
平均能力值的拟合曲线如下图所示：
注：营中成员总数、闯营人数 和 平均能力值 都包括了能力值为$0$的初始成员。
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-9 07:11 编辑
天冷了，活动活动。
第0次：\(0\)
第1次：\(\frac{1}{2}\)
第2次：\(\frac{1}{2}*2^2+\frac{2}{3}\)
第3次：\(\frac{1}{2}*3^3+\frac{2}{3}*2^2+\frac{3}{4}\)
第4次：\(\frac{1}{2}*4^4+\frac{2}{3}*3^3+\frac{3}{4}*2^2+\frac{4}{5}\)
第5次：\(\frac{1}{2}*5^5+\frac{2}{3}*4^4+\frac{3}{4}*3^3+\frac{4}{5}*2^2+\frac{5}{6}\)
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第8次：\(\frac{1}{2}*8^8+\frac{2}{3}*7^7+\frac{3}{4}*6^6+\frac{4}{5}*5^5+\frac{5}{6}*4^4+\frac{6}{7}*3^3+\frac{7}{8}*2^2+\frac{8}{9}\)
第9次：\(\frac{1}{2}*9^9+\frac{2}{3}*8^8+\frac{3}{4}*7^7+\frac{4}{5}*6^6+\frac{5}{6}*5^5+\frac{6}{7}*4^4+\frac{7}{8}*3^3+\frac{8}{9}*2^2+\frac{9}{10}\)
...........
随着次数的增加，每次的平均数会向"\(\frac{1}{2}\)"靠拢。
第0次：\(0\)
第1次：\(\frac{1}{2}\)
第2次：\(\frac{1}{2}*2^3+\frac{2}{3}\)
第3次：\(\frac{1}{2}*3^3+\frac{2}{3}*2^3+\frac{3}{4}\)
第4次：\(\frac{1}{2}*4^3+\frac{2}{3}*3^3+\frac{3}{4}*2^3+\frac{4}{5}\)
第5次：\(\frac{1}{2}*5^3+\frac{2}{3}*4^3+\frac{3}{4}*3^3+\frac{4}{5}*2^3+\frac{5}{6}\)
第6次：\(\frac{1}{2}*6^3+\frac{2}{3}*5^3+\frac{3}{4}*4^3+\frac{4}{5}*3^3+\frac{5}{6}*2^3+\frac{6}{7}\)
第7次：\(\frac{1}{2}*7^3+\frac{2}{3}*6^3+\frac{3}{4}*5^3+\frac{4}{5}*4^3+\frac{5}{6}*3^3+\frac{6}{7}*2^3+\frac{7}{8}\)
第8次：\(\frac{1}{2}*8^3+\frac{2}{3}*7^3+\frac{3}{4}*6^3+\frac{4}{5}*5^3+\frac{5}{6}*4^3+\frac{6}{7}*3^3+\frac{7}{8}*2^3+\frac{8}{9}\)
第9次：\(\frac{1}{2}*9^3+\frac{2}{3}*8^3+\frac{3}{4}*7^3+\frac{4}{5}*6^3+\frac{5}{6}*5^3+\frac{6}{7}*4^3+\frac{7}{8}*3^3+\frac{8}{9}*2^3+\frac{9}{10}\)
...........
随着次数的增加，每次的平均数会向"1"靠拢。
第0次：\(0\)
第1次：\(1\)
第2次：\(\frac{1}{2}*2^2+1\)
第3次：\(\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第4次：\(\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第5次：\(\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第6次：\(\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第7次：\(\frac{1}{7}*7^7+\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第8次：\(\frac{1}{8}*8^8+\frac{1}{7}*7^7+\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第9次：\(\frac{1}{9}*9^9+\frac{1}{8}*8^8+\frac{1}{7}*7^7+\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向"0"靠拢。
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-11 08:58 编辑
王守恩 发表于 2021-11-8 17:36
天冷了，活动活动。
第0次：\(0\)
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第1次:\(\frac{1}{03}\)
第2次：\(\frac{1}{06}*2^1+\frac{3}{05}\)
第3次：\(\frac{1}{09}*3^2+\frac{3}{08}*3^1+\frac{5}{07}\)
第4次：\(\frac{1}{12}*4^3+\frac{3}{11}*4^2+\frac{5}{10}*4^1+\frac{7}{09}\)
第5次：\(\frac{1}{15}*5^4+\frac{3}{14}*5^3+\frac{5}{13}*5^2+\frac{7}{12}*5^1+\frac{9}{11}\)
第6次：\(\frac{1}{18}*6^5+\frac{3}{17}*6^4+\frac{5}{16}*6^3+\frac{7}{15}*6^2+\frac{9}{14}*6^1+\frac{11}{13}\)
第7次：\(\frac{1}{21}*7^6+\frac{3}{20}*7^5+\frac{5}{19}*7^4+\frac{7}{18}*7^3+\frac{9}{17}*7^2+\frac{11}{16}*7^1+\frac{13}{15}\)
第8次：\(\frac{1}{24}*8^7+\frac{3}{23}*8^6+\frac{5}{22}*8^5+\frac{7}{21}*8^4+\frac{9}{20}*8^3+\frac{11}{19}*8^2+\frac{13}{18}*8^1+\frac{15}{17}\)
第9次：\(\frac{1}{27}*9^8+\frac{3}{26}*9^7+\frac{5}{25}*9^6+\frac{7}{24}*9^5+\frac{9}{23}*9^4+\frac{11}{22}*9^3+\frac{13}{21}*9^2+\frac{15}{20}*9^1+\frac{17}{19}\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向"0"靠拢。
第0次： 0
第1次:\(\frac{1}{03}\)
第2次：\(\frac{1}{06}*2^1+\frac{3}{05}\)
第3次：\(\frac{1}{09}*3^2+\frac{3}{08}*2^4+\frac{5}{07}\)
第4次：\(\frac{1}{12}*4^3+\frac{3}{11}*3^5+\frac{5}{10}*2^7+\frac{7}{09}\)
第5次：\(\frac{1}{15}*5^4+\frac{3}{14}*4^6+\frac{5}{13}*3^8+\frac{7}{12}*2^{10}+\frac{9}{11}\)
第6次：\(\frac{1}{18}*6^5+\frac{3}{17}*5^7+\frac{5}{16}*4^9+\frac{7}{15}*3^{11}+\frac{9}{14}*2^{13}+\frac{11}{13}\)
第7次：\(\frac{1}{21}*7^6+\frac{3}{20}*6^8+\frac{5}{19}*5^{10}+\frac{7}{18}*4^{12}+\frac{9}{17}*3^{14}+\frac{11}{16}*2^{16}+\frac{13}{15}\)
第8次：\(\frac{1}{24}*8^7+\frac{3}{23}*7^9+\frac{5}{22}*6^{11}+\frac{7}{21}*5^{13}+\frac{9}{20}*4^{15}+\frac{11}{19}*3^{17}+\frac{13}{18}*2^{19}+\frac{15}{17}\)
第9次：\(\frac{1}{27}*9^8+\frac{3}{26}*8^{10}+\frac{5}{25}*7^{12}+\frac{7}{24}*6^{14}+\frac{9}{23}*5^{16}+\frac{11}{22}*4^{18}+\frac{13}{21}*3^{20}+\frac{15}{20}*2^{22}+\frac{17}{19}\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向"?"靠拢。
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-12 08:25 编辑
王守恩 发表于 2021-11-11 07:37
第0次： 0
第1次:\(\frac{1}{03}\)
第2次：\(\frac{1}{06}*2^1+\frac{3}{05}\)
第0次： 0
第1次:\(\frac{1}{03}*02^1+\frac{1}{02}\)
第2次：\(\frac{2}{05}*03^2+\frac{2}{04}*2^1+\frac{03}{04}\)
第3次：\(\frac{3}{07}*04^3+\frac{3}{06}*3^2+\frac{04}{06}*2^1+\frac{04}{05}\)
第4次：\(\frac{4}{09}*05^4+\frac{4}{08}*4^3+\frac{05}{08}*3^2+\frac{05}{07}*2^1+\frac{06}{07}\)
第5次：\(\frac{5}{11}*06^5+\frac{5}{10}*5^4+\frac{06}{10}*4^3+\frac{06}{09}*3^2+\frac{07}{09}*2^1+\frac{07}{08}\)
第6次：\(\frac{6}{13}*07^6+\frac{6}{12}*6^5+\frac{07}{12}*5^4+\frac{07}{11}*4^3+\frac{08}{11}*3^2+\frac{08}{10}*2^1+\frac{09}{10}\)
第7次：\(\frac{7}{15}*08^7+\frac{7}{14}*7^6+\frac{08}{14}*6^5+\frac{08}{13}*5^4+\frac{09}{13}*4^3+\frac{09}{12}*3^2+\frac{10}{12}*2^1+\frac{10}{11}\)
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