sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x<√22

dlsh 发表于 2021-12-10 22:16:27

ejsoon 发表于 2021-12-12 00:18:16

它們最大的情況，應該是都處於正數域。

但是要算出根號22，這個對我来說還是太難了。

mathe 发表于 2021-12-12 10:47:04

由于$2sin(x/2)sin(kx)=cos((k-1/2)x)-cos((k+1/2)x)$
$sin(x)+sin(2x)+...+sin(6x)=\frac{cos(x/2)-cos(13/2x)}{2sin(x/2)}$
对于函数$f(t)=\frac{cos(t)-cos(13 t)}{2sin(t)}=\frac{sin(7t)sin(6t)}{sin(t)}$
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sin%287t%29sin%286t%29%2Fsin%28t%29%29
计算最大值4.690361803953941719而$\sqrt{22}=4.690415759823429554$,太接近了，这个应该基本上只能通过数值计算验证了

wayne 发表于 2021-12-12 11:36:32

换成关于 $t = tan(x/2)$的有理分式/多项式就是很平常的问题了, $f(t) = \frac{2 t \left(t^2-3\right) \left(3 t^2-1\right) \left(t^6-21 t^4+35 t^2-7\right)}{\left(t^2+1\right)^6}$

nyy 发表于 2021-12-13 10:41:45

(*sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x<√22*)
(*https://bbs.emath.ac.cn/thread-18214-1-1.html*)
Clear["Global`*"];
(*定义函数*)
f=Sin+Sin+Sin+Sin+Sin+Sin
(*很显然f以2*Pi为周期，画图观察最大点的大致位置*)
Plot
(*求导函数*)
fx=D
(*根据对最大值的观察，应该在0.2-0.8之间，求这个区间内导函数的零点*)
ans=Solve//FullSimplify
(*求解最大值*)
aaa=(f/.ans[])//FullSimplify
(*求解20位精度数值解*)
N
N,20]

先画出函数的大致图像，得到取最大值时，x在0.2-0.8之间。然后求得对应的导函数的零点是
\[\left\{\left\{x\to 2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left\right)\right\}\right\}\]
代入表达式得到函数值
\[\sqrt{\text{Root}\left}\]
数值化20位得到，再数值化根号22，分别得到
4.6903618039539417192
4.6904157598234295546

nyy 发表于 2021-12-13 10:44:37

你没觉得画函数图像是最简单的办法吗？虽然有那么些不严密。

ejsoon 发表于 2021-12-15 13:48:06

也就是說，「22」其實是一個最接近的整數，確實也挺接近。

dlsh 发表于 2021-12-15 20:48:26

http://www.mathchina.com/bbs/data/attachment/forum/202112/07/182234e6s6n9m9m04u99z0.jpg
数学中国论坛在知乎上发现的

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sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x<√22