sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x<√22

dlsh

sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x<√22

ejsoon

它們最大的情況，應該是都處於正數域。

但是要算出根號22，這個對我来說還是太難了。

mathe

由于$2sin(x/2)sin(kx)=cos((k-1/2)x)-cos((k+1/2)x)$
$sin(x)+sin(2x)+...+sin(6x)=\frac{cos(x/2)-cos(13/2x)}{2sin(x/2)}$
对于函数$f(t)=\frac{cos(t)-cos(13 t)}{2sin(t)}=\frac{sin(7t)sin(6t)}{sin(t)}$
https://www.wolframalpha.com/inp ... %29%2Fsin%28t%29%29
计算最大值4.690361803953941719而$\sqrt{22}=4.690415759823429554$,太接近了，这个应该基本上只能通过数值计算验证了

wayne

换成关于 $t = tan(x/2)$的有理分式/多项式 就是很平常的问题 了, $f(t) = \frac{2 t \left(t^2-3\right) \left(3 t^2-1\right) \left(t^6-21 t^4+35 t^2-7\right)}{\left(t^2+1\right)^6}$

nyy

1. (*sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x<√22*)
   
2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-18214-1-1.html*)
   
3. Clear["Global`*"];
   
4. (*定义函数*)
   
5. f=Sin[1*x]+Sin[2*x]+Sin[3*x]+Sin[4*x]+Sin[5*x]+Sin[6*x]
   
6. (*很显然f以2*Pi为周期，画图观察最大点的大致位置*)
   
7. Plot[f,{x,0,2*Pi}]
   
8. (*求导函数*)
   
9. fx=D[f,{x}]
   
10. (*根据对最大值的观察，应该在0.2-0.8之间，求这个区间内导函数的零点*)
    
11. ans=Solve[fx==0&&1/5<x<4/5,{x}]//FullSimplify
    
12. (*求解最大值*)
    
13. aaa=(f/.ans[[1]])//FullSimplify
    
14. (*求解20位精度数值解*)
    
15. N[aaa,20]
    
16. N[Sqrt[22],20]
    

复制代码

先画出函数的大致图像，得到取最大值时，x在0.2-0.8之间。然后求得对应的导函数的零点是
\[\left\{\left\{x\to 2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[3 \text{$\#$1}^{12}-252 \text{$\#$1}^{10}+2247 \text{$\#$1}^8-5264 \text{$\#$1}^6+3745 \text{$\#$1}^4-756 \text{$\#$1}^2+21\&,7\right]\right)\right\}\right\}\]
代入表达式得到函数值
\[\sqrt{\text{Root}\left[139314069504 \text{$\#$1}^6-3425893921520 \text{$\#$1}^5+8167482111600 \text{$\#$1}^4-4980655816920 \text{$\#$1}^3+942144015708 \text{$\#$1}^2-52631809587 \text{$\#$1}+600362847\&,6\right]}\]
数值化20位得到，再数值化根号22，分别得到
4.6903618039539417192
4.6904157598234295546

nyy

你没觉得画函数图像是最简单的办法吗？虽然有那么些不严密。

ejsoon

也就是說，「22」其實是一個最接近的整數，確實也挺接近。

dlsh

数学中国论坛在知乎上发现的