证明一个极限
求证一个极限，如下图片。式中 \(a,b\) 都是正数。此问题来源见：http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2050322&page=1&extra=#pid2449214 本帖最后由 TSC999 于 2022-1-14 17:04 编辑
数字验证如下：
a = 1.2; b = 2.23;
n = 1000000;
\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 2\), \(\(\ \)\(n\)\)]\(
\*SuperscriptBox[\((\(-1\))\), \(i - 1\)] ArcTan[
\*FractionBox[\(\(\ \)\(b\)\), \(b/a + \((i - 1)\)/n\)]]\)\)
-(1/2) ArcTan - 1/2 ArcTan[(a b)/(a + b)]
运行结果：
-0.769297
-0.769297
本帖最后由 TSC999 于 2022-1-15 21:17 编辑
主帖中的问题，等价于下面这个问题：
目前还没有找到证明方法。
【初等数学讨论】的版主 kuing发现，上式左边:
当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arctan(a) - \frac{1}{2} arctan\frac{a b}{a+b}\);
当 n 以奇数趋向无穷大时等于\(\frac{1}{2} arctan(a) + \frac{1}{2} arctan\frac{a b}{a+b}\)。
经数字验证确实如此，因此上式以及主帖中的那个式子都没有极限。
如果\(n\)只限于偶数，如何证明 3# 楼等式左边这个极限？ \(\sum_{k=0}^m(\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k}{2m}})-\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k+1}{2m}}))=\sum_{k=0}^m(\tan^{-1}(\frac{\frac b{2m}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2}))\)
需要注意的是其中分母\((\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2\)在\((\frac ba)^2+b^2\)和\((\frac ba+1)^2+b^2\)之间
所以
\(\tan^{-1}\left(\frac{\frac b{2m}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2}\right)-\frac{\frac b{2m}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2}=O(\frac1{m^3})\)
于是容易得出
\(\lim_{m\to\infty}\sum_{k=0}^m(\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k}{2m}})-\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k+1}{2m}}))=\lim_{m\to\infty}\frac1m\sum_{k=0}^m(\frac{\frac b{2}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2})=\int_0^1 \frac{\frac b2 }{(\frac ba+x)^2+b^2}dx\)
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