数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 383|回复: 4

[求助] 证明一个极限

[复制链接]
发表于 2022-1-14 14:08:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
求证一个极限,如下图片。式中 \(a,  b\) 都是正数。

证明极限.png

此问题来源见:  http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=#pid2449214
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-1-14 14:13:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-1-14 17:04 编辑

数字验证如下:

  1. a = 1.2; b = 2.23;
  2. n = 1000000;
  3. \!\(
  4. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 2\), \(\(\ \)\(n\)\)]\(
  5. \*SuperscriptBox[\((\(-1\))\), \(i - 1\)] ArcTan[
  6. \*FractionBox[\(\(\ \)\(b\)\), \(b/a + \((i - 1)\)/n\)]]\)\)
  7. -(1/2) ArcTan[a] - 1/2 ArcTan[(a b)/(a + b)]
复制代码


运行结果:
-0.769297
-0.769297
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-1-15 11:20:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-1-15 21:17 编辑

主帖中的问题,等价于下面这个问题:

问题等价于.png

目前还没有找到证明方法。

【初等数学讨论】的版主 kuing  发现,上式左边:

当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arctan(a) - \frac{1}{2} arctan\frac{a b}{a+b}\);

当 n 以奇数趋向无穷大时等于\(\frac{1}{2} arctan(a) + \frac{1}{2} arctan\frac{a b}{a+b}\)。

经数字验证确实如此,因此上式以及主帖中的那个式子都没有极限。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-1-17 12:16:59 | 显示全部楼层
如果  \(n\)  只限于偶数,如何证明 3# 楼等式左边这个极限?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-1-18 07:40:09 | 显示全部楼层
\(\sum_{k=0}^m(\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k}{2m}})-\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k+1}{2m}}))=\sum_{k=0}^m(\tan^{-1}(\frac{\frac b{2m}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2}))\)
需要注意的是其中分母\((\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2\)在\((\frac ba)^2+b^2\)和\((\frac ba+1)^2+b^2\)之间
所以
\(\tan^{-1}\left(\frac{\frac b{2m}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2}\right)-\frac{\frac b{2m}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2}=O(\frac1{m^3})\)
于是容易得出
\(\lim_{m\to\infty}\sum_{k=0}^m(\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k}{2m}})-\tan^{-1}(\frac{b}{\frac ba+\frac{2k+1}{2m}}))=\lim_{m\to\infty}\frac1m\sum_{k=0}^m(\frac{\frac b{2}}{(\frac ba+\frac{2k}{2m})(\frac ba+\frac{2k+1}{2m})+b^2})=\int_0^1 \frac{\frac b2 }{(\frac ba+x)^2+b^2}dx\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2022-8-10 03:34 , Processed in 0.093699 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表