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dlsh 发表于 2022-2-10 22:24:43

Ceva定理新解

Clear["Global`*"]

\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 1/a;
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b;
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 1/c;
FourPoint := ((
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)

\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\) := -(((c
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
d = FourPoint; e = FourPoint; f =
FourPoint;

\!\(\*OverscriptBox["FA", "\"]\) = a - f;
\!\(\*OverscriptBox["FB", "\"]\) = b - f;
\!\(\*OverscriptBox["DB", "\"]\) = d - b;
\!\(\*OverscriptBox["DC", "\"]\) = d - c;
\!\(\*OverscriptBox["EA", "\"]\) = e - a;
\!\(\*OverscriptBox["EC", "\"]\) = e - c;
Simplify[{d, e, f}]
Simplify[{
\!\(\*OverscriptBox["FA", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["FB", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["DB", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["DC", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["EA", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["EC", "\"]\), ,
\!\(\*OverscriptBox["FA", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["FB", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["DB", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["DC", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["EC", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["EA", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["FA", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["FB", "\"]\)
\!\(\*OverscriptBox["DB", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["DC", "\"]\)
\!\(\*OverscriptBox["EC", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["EA", "\"]\)}]
Simplify[{
\!\(\*OverscriptBox["FA", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["EA", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["DB", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["FB", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["EC", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["DC", "\"]\),
\!\(\*OverscriptBox["FA", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["EA", "\"]\)
\!\(\*OverscriptBox["DB", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["FB", "\"]\)
\!\(\*OverscriptBox["EC", "\"]\)/
\!\(\*OverscriptBox["DC", "\"]\)}]



Ceva定理，用向量商表示比较准确，但是其中的向量如何表示成长度与单位向量的乘积？因为这样，才能很好解释红色标记的计算结果。

TSC999 发表于 2022-2-11 15:31:14

本帖最后由 TSC999 于 2022-2-11 19:40 编辑

西瓦定理： 当交点 O 在三角形外时，公式的表述也跟交点位于三角形内时完全相同，并且线段长度之比也不用改成向量之比的形式：

dlsh 发表于 2022-2-11 19:54:59

注意向量商等式的一个好处是说明D、E和F至少有一个点在三边之外，另外由\(\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}=\frac{b\left( a-c\right)\left( -a-c+o+a\ c\overline{o}\right)}{a\left( b-c\right)\left( -b-c+o+b\ c\overline{o}\right)}，知道\frac{b\left( a-c\right)}{a\left( b-c\right)}的几何意义明显，但是\frac{-a-c+o+a\ c\overline{o}}{-b-c+o+b\ c\overline{o}}又表示什么\)

dlsh 发表于 2022-2-14 22:50:21

三角形内，三向量比值都是负值，黄色区域，\(\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}\)为负，其余两项为正。

TSC999 发表于 2022-2-15 10:27:56

西瓦定理的向量形式也成立：

dlsh 发表于 2022-2-15 19:59:33

下面哪一个更容易看出与内角的关系？
\(\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{EA}}\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{DC}}=1\)
\(\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AE}}\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BF}}\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{CD}}=-1\)

hujunhua 发表于 2022-2-16 12:01:08

这不知道有什么新意啊。

一般把共线三点 A、B、C 的单比定义为(A,B;C):=AC/BC, 其中A,B为基点偶，C为分点, 这里AC,BC皆为有向线段。
按此记号，西瓦定理中的等式可写为\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=-1\]梅涅劳斯定理中的等式可写为\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=1\]

用代数方法来证明时，并不需要硬性使用两直线方程的交点公式，而是另有巧妙方法。
以西瓦定理必要性（三线共点→等式）为例。
如果AD,BE,CF相交于一点O，由于平面上任意一点，比如O，总是可以表示为A, B, C的组合\这里的大写字母可以理解为坐标`(x,y)`，也可以理解为复数`x+\mathsf iy`.
由`(1)`可得\[\frac{O-aA}{1-a}=\frac{bB+cC}{b+c}\tag{2}\]`(2)`的左右两边的系数和都等于1，所以也各表示平面上的一个点。左边表示的点在直线`OA`上，右边在直线`BC`上, 两者相等，故为`OA∩BC`，即\与定比分点公式相比较可知`\D (B,C;D)=-\frac cb`, 同理, `\D (C,A;E)=-\frac ac,(A,B;F)=-\frac ba`, 所以\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=(-\frac ba)\*(-\frac cb)\*(-\frac ac)=-1\]

hujunhua 发表于 2022-2-16 14:29:30

西瓦定理充分性（等式→三线共点）
由\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=-1\]可知存在`a,b,c`使得\[\D (B,C;D)=-\frac cb,(C,A;E)=-\frac ac,(A,B;F)=-\frac ba\]按定比分点公式有\由于齐次，不妨取`a+b+c=1`, 则考虑点 `O=aA+bB+cC`,有恒等变形\可见`O`是`AD、BE`和`CF`的交点。

dlsh 发表于 2022-2-16 20:37:43

谢谢老师的精彩答复。由\(
\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}\frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{EA}}=-1,得\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{EA}}\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{DC}}=-1\)，这等式得几何意义是什么？主贴没有完全回答

dlsh 发表于 2022-3-4 21:24:24

由主楼获得图片表示的向量商计算结果，染色部分的几何意义是什么？

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