Ceva定理新解

dlsh

1. Clear["Global`*"]
   
2. 
   
3. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 1/a;
   
4. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 1/c;
   
6. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
   
7. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
   
8. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
   
9. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
   
10. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
11. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
12. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
13. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
14. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
15. 
    
16. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
17. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
18. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
19. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
20. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
21. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
22. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
23. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
24. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
25. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
26. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
27. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
28. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
29. d = FourPoint[b, c, a, o]; e = FourPoint[a, c, b, o]; f =
    
30. FourPoint[b, a, c, o];
    
31. 
    
32. \!\(\*OverscriptBox["FA", "\[RightVector]"]\) = a - f;
    
33. \!\(\*OverscriptBox["FB", "\[RightVector]"]\) = b - f;
    
34. \!\(\*OverscriptBox["DB", "\[RightVector]"]\) = d - b;
    
35. \!\(\*OverscriptBox["DC", "\[RightVector]"]\) = d - c;
    
36. \!\(\*OverscriptBox["EA", "\[RightVector]"]\) = e - a;
    
37. \!\(\*OverscriptBox["EC", "\[RightVector]"]\) = e - c;
    
38. Simplify[{d, e, f}]
    
39. Simplify[{
    
40. \!\(\*OverscriptBox["FA", "\[RightVector]"]\),
    
41. \!\(\*OverscriptBox["FB", "\[RightVector]"]\),
    
42. \!\(\*OverscriptBox["DB", "\[RightVector]"]\),
    
43. \!\(\*OverscriptBox["DC", "\[RightVector]"]\),
    
44. \!\(\*OverscriptBox["EA", "\[RightVector]"]\),
    
45. \!\(\*OverscriptBox["EC", "\[RightVector]"]\), ,
    
46. \!\(\*OverscriptBox["FA", "\[RightVector]"]\)/
    
47. \!\(\*OverscriptBox["FB", "\[RightVector]"]\),
    
48. \!\(\*OverscriptBox["DB", "\[RightVector]"]\)/
    
49. \!\(\*OverscriptBox["DC", "\[RightVector]"]\),
    
50. \!\(\*OverscriptBox["EC", "\[RightVector]"]\)/
    
51. \!\(\*OverscriptBox["EA", "\[RightVector]"]\),
    
52. \!\(\*OverscriptBox["FA", "\[RightVector]"]\)/
    
53. \!\(\*OverscriptBox["FB", "\[RightVector]"]\)
    
54. \!\(\*OverscriptBox["DB", "\[RightVector]"]\)/
    
55. \!\(\*OverscriptBox["DC", "\[RightVector]"]\)
    
56. \!\(\*OverscriptBox["EC", "\[RightVector]"]\)/
    
57. \!\(\*OverscriptBox["EA", "\[RightVector]"]\)}]
    
58. Simplify[{
    
59. \!\(\*OverscriptBox["FA", "\[RightVector]"]\)/
    
60. \!\(\*OverscriptBox["EA", "\[RightVector]"]\),
    
61. \!\(\*OverscriptBox["DB", "\[RightVector]"]\)/
    
62. \!\(\*OverscriptBox["FB", "\[RightVector]"]\),
    
63. \!\(\*OverscriptBox["EC", "\[RightVector]"]\)/
    
64. \!\(\*OverscriptBox["DC", "\[RightVector]"]\),
    
65. \!\(\*OverscriptBox["FA", "\[RightVector]"]\)/
    
66. \!\(\*OverscriptBox["EA", "\[RightVector]"]\)
    
67. \!\(\*OverscriptBox["DB", "\[RightVector]"]\)/
    
68. \!\(\*OverscriptBox["FB", "\[RightVector]"]\)
    
69. \!\(\*OverscriptBox["EC", "\[RightVector]"]\)/
    
70. \!\(\*OverscriptBox["DC", "\[RightVector]"]\)}]
    
71. 
    
72. 
    

复制代码

Ceva定理，用向量商表示比较准确，但是其中的向量如何表示成长度与单位向量的乘积？因为这样，才能很好解释红色标记的计算结果。

TSC999

西瓦定理： 当交点 O 在三角形外时，公式的表述也跟交点位于三角形内时完全相同，并且线段长度之比也不用改成向量之比的形式：

dlsh

注意向量商等式的一个好处是说明D、E和F至少有一个点在三边之外，另外由\(\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}=\frac{b\left( a-c\right)\left( -a-c+o+a\ c\overline{o}\right)}{a\left( b-c\right)\left( -b-c+o+b\ c\overline{o}\right)}，知道\frac{b\left( a-c\right)}{a\left( b-c\right)}的几何意义明显，但是\frac{-a-c+o+a\ c\overline{o}}{-b-c+o+b\ c\overline{o}}又表示什么\)

dlsh

三角形内，三向量比值都是负值，黄色区域，\(\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}\)为负，其余两项为正。

TSC999

西瓦定理的向量形式也成立：

dlsh

下面哪一个更容易看出与内角的关系？
\(\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{EA}}\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{DC}}=1\)
\(\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AE}}\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BF}}\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{CD}}=-1\)

hujunhua

这不知道有什么新意啊。

一般把共线三点 A、B、C 的单比定义为(A,B;C):=AC/BC, 其中A,B为基点偶，C为分点, 这里AC,BC皆为有向线段。
按此记号，西瓦定理中的等式可写为\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=-1\]梅涅劳斯定理中的等式可写为\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=1\]

用代数方法来证明时，并不需要硬性使用两直线方程的交点公式，而是另有巧妙方法。
以西瓦定理必要性（三线共点→等式）为例。
如果AD,BE,CF相交于一点O，由于平面上任意一点，比如O，总是可以表示为A, B, C的组合\[O=aA+bB+cC\\(a+b+c=1)\tag{1}\]这里的大写字母可以理解为坐标`(x,y)`，也可以理解为复数`x+\mathsf iy`.
由`(1)`可得\[\frac{O-aA}{1-a}=\frac{bB+cC}{b+c}\tag{2}\]`(2)`的左右两边的系数和都等于1，所以也各表示平面上的一个点。左边表示的点在直线`OA`上，右边在直线`BC`上, 两者相等，故为`OA∩BC`，即\[D=\frac{O-aA}{1-a}=\frac{bB+cC}{b+c}\]与定比分点公式相比较可知`\D (B,C;D)=-\frac cb`, 同理, `\D (C,A;E)=-\frac ac,(A,B;F)=-\frac ba`, 所以\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=(-\frac ba)\*(-\frac cb)\*(-\frac ac)=-1\]

hujunhua

西瓦定理充分性（等式→三线共点）
由\[(A,B;F)(B,C;D)(C,A;E)=-1\]可知存在`a,b,c`使得\[\D (B,C;D)=-\frac cb,(C,A;E)=-\frac ac,(A,B;F)=-\frac ba\]按定比分点公式有\[D=\frac{b}{b+c}B+\frac{c}{b+c}C,E=\frac{c}{c+a}C+\frac{a}{c+a}A,F=\frac{a}{a+b}A+\frac{b}{a+b}B\]由于齐次，不妨取`a+b+c=1`, 则考虑点 `O=aA+bB+cC`,有恒等变形\[O=aA+(b+c)D=bB+(c+a)E=cC+(a+b)F\]可见`O`是`AD、BE`和`CF`的交点。

dlsh

谢谢老师的精彩答复。由\(
\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}\frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{EA}}=-1,得\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{EA}}\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{DC}}=-1\)，这等式得几何意义是什么？主贴没有完全回答

dlsh

由主楼获得图片表示的向量商计算结果，染色部分的几何意义是什么？