Ceva定理新解

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假设O在三角形内部\(，设\alpha=\measuredangle FAB=\pi{,}\beta=\measuredangle CDB=\pi{,}\gamma=\measuredangle AEC=\pi，根据向量商定义，由\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}\frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{EA}}=-1，得\frac{FA}{FB}e^{i\alpha}\frac{DB}{DC}e^{i\beta}\frac{EC}{EA}e^{i\gamma}=-1,所以\frac{FA}{FB}\frac{DB}{DC}\frac{EC}{EA}=1\)\(把\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}\frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{EA}}=-1改写成\frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{FA}}\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{EC}}\frac{\overrightarrow{FB}}{\overrightarrow{DB}}=-1,令A=∠BAC，B=∠CBA，C=∠ACB，得\frac{EA}{FA}e^{iA}\frac{DC}{EC}e^{iB}\frac{FB}{DB}e^{iC}=-1{,}因为e^{i\left( A+B+C\right)}=-1{,}所以\frac{EA}{FA}\frac{DC}{EC}\frac{FB}{DB}=1\)，对于O在三角形ABC的情形待续

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O在三角形外

O在三角形外，讨论与前面相似，即线段比值乘积为1，方向商等于-1.

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10楼提出：向量商染色部分的几何意义是什么？见下图中的染色部分，计算结果可以解释为：\(\frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}}=\frac{\overrightarrow{PB}}{\overrightarrow{PA}}\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CB}}\frac{\overrightarrow{M_{e2e1}}}{\overrightarrow{M_{d2d1}}}\)