论坛 › 难题征解 › 神奇的数列

wayne 发表于 2022-6-12 17:25:45

神奇的数列

已知正数数列${a_n}$,前$n$项和的表达是${S_n}$, 即$S_1=a_1, S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$, $a_1 \gt 0$给定, 对于任意的$n$,存在关系$a_{n+1}^2 = S_n^2 +A S_n +B^2 $，求$a_n$
注意，当$A\ge -2|B|$时，$a_{n+1}$的定义是永远唯一的，这时正数列总是有意义的。
但是即使$A \lt -2|B|$时，如果选择$a_1$大于$x^2+Ax+B^2=0$的大的正根，由于$S_1=a_1, S_1^2+A S_1+B^2 \gt 0$，可以找到合法唯一的$a_2 \gt 0$, 由于这是得出$S_2=S_1+a_2 \gt S_1$也大于上面二次方程的大根，同样可以继续得出唯一确定$a_3$, ... 所以这种情况也可以唯一确定合法序列

wayne 发表于 2022-6-14 07:07:31

我先给出两个个案例.
当 $a_n =\frac{\sin (\theta )}{\sin (2^{1-n}\theta )}$时,计算得到$S_n = \frac{\sin (\theta -2^{-n}\theta )}{\sin (2^{-n}\theta)}$,然后代入$a_{n+1}^2 =S_n^2 +A S_n +B^2$，待定系数, 计算得到$A = 2 \cos ( \theta ), B=1$

当 $a_n =\frac{\sinh (\theta )}{\sinh (2^{1-n}\theta )}$时,计算得到$S_n = \frac{\sinh (\theta -2^{-n}\theta )}{\sinh (2^{-n}\theta)}$,然后代入$a_{n+1}^2 =S_n^2 +A S_n +B^2$，待定系数, 计算得到$A = 2 \cosh ( \theta ), B=1$

northwolves 发表于 2022-6-14 19:12:01

如图。
$a_{n+1}^2 = S_n^2 +A S_n +B^2=(\frac{A}{2}+S_{n})^2+(B^2-\frac{A^2}{4})$
若 $(B^2-\frac{A^2}{4})>0$,设$c^2=(B^2-\frac{A^2}{4})$

$\frac{c}{a_{2}}=sin\theta$,$\frac{c}{a_{n}}=sin\frac{\theta}{2^{n-2}}$
$\theta=arctan\frac{c}{\frac{A}{2]+a)$

$a_{n}=sin\frac{arctan\frac{c}{\frac{A}{2]+a)}{2^{n-2}},c=sqrt{B^2-\frac{A^2}{4}}$

northwolves 发表于 2022-6-14 19:25:19

若$(B^2-\frac{A^2}{4})=0$，则有 $a_{n}=2^{n-2}(a+\frac{A}{2})$

yuange1975 发表于 2023-10-17 22:02:47

有意思的数列

前段时间做了这样的题目a(n+1)=sqrt(S(n)^2-S(n)+2)。

更一般性数列a(n)，S(n)是数列前n项之和，S(1)=a(1)，S(n+1)=S(n)+a(n+1)。
如果有：
a(n+1)=sqrt(S(n)^2+A*S(n)+B)，a(1)可以不要求一定大于等于0。
求a(n)。


可以先去掉S(n)得到：

a(n+1)^2=S(n)^2+A*S(n)+B（1）

a(n+2)^2=S(n+1)^2+A*S(n+1)+B （2）


(2)-(1):

a(n+2)^2-a(n+1)^2=(S(n+1)+S(n))*a(n+1)+A*a(n+1)

=(2S(n+1)-a(n+1))*a(n+1)+A*a(n+1)

所以：

2S(n+1)=(a(n+2)^2-A*a(n+1))/a(n+1)(3)


2S(n+2)=(a(n+3)^2-A*a(n+2))/a(n+2) (4)

(4)-(3):

2a(n+2)=a(n+3)^2/a(n+2)-a(n+2)^2/a(n+1)




a(n+3)^2/a(n+2)^2=a(n+2)/a(n+1)+2 (5)

⚠️⚠️⚠️注意这个等式成立条件是n>=1

设a(n+1)/a(n)=b(n)，有：

b(n+1)^2=b(n)+2

b(n+1)=sqrt(2+b(n)) (6)



a1=a1
a2=sqrt(a1*a1+A*a1+B)
a3=sqrt((a1+a2)^2+A*(a1+a2)+B)

b1=a3/a2>=0

只要a2、a3符合要求。



1、如果0<=b1<=2

设b(1)=2*cosx
x=acos(b1/2)
cosx=2(cos(x/2))^2-1

所以：

b(n)=2cos(x/2^(n-1))

a(n)=a3*sin(x)/sin(x/2^(n-3)) n>=3


2、如果b1>=2

设b(1)=2*coshx
x=acosh(b1/2)
coshx=2(cosh(x/2))^2-1

所以：

b(n)=2cosh(x/2^(n-1))

a(n)=a3*sinh(x)/sinh(x/2^(n-3)) n>=3


补充内容 (2023-10-18 18:39):

我们再来仔细分析一下AB和初值x下a2、a3以及b1=a3/a2的情况。


a1=x
a2=sqrt(x^2+Ax+B)
a3=sqrt((x+a2)^2+A*(x+a2)+B)

(a3/a2)^2=2+a2*(2x+A)/a2^2
=2+(2x+A)/sqrt(x^2+Ax+B)

=2+sign(2...

yuange1975 发表于 2023-10-18 08:17:58

验证Python代码：

from mpmath import *
mp.dps=8
num=5
def ansn(a1,A,B):
    S=a1
    a=a1
    for i in range(2):
      an=sqrt(S*S+A*S+B)
      S+=an
      b=an/a
      a=an   
    print("a,b=",a,b)
    f=acos
    g=sin
    if b>=2:
       f=acosh
       g=sinh
    x=f(b/2)
    for i in range(num):
      an=sqrt(S*S+A*S+B)
      S+=an
      bn=a*g(x)/g(x/2**(i+1))
      print("an,bn=",an,bn)
ansn(100,-10,1)
ansn(10,-1,2)
      
运行结果：

Python3IDE(Python 3.7) running!
a,b= 189.81039 2.000666
an,bn= 379.65238 379.65238
an,bn= 759.32057 759.32057
an,bn= 1518.649 1518.649
an,bn= 3037.302 3037.302
an,bn= 6074.606 6074.606
a,b= 19.13744 1.995216
an,bn= 38.251984 38.251984
an,bn= 76.492527 76.492527
an,bn= 152.97933 152.97933
an,bn= 305.95581 305.95581
an,bn= 611.91018 611.91019
Pytho3IDE run end!

   
   


   

mathe 发表于 2023-10-18 09:23:56

利用公式
$1/tanh(x)+1/sinh(x)=(cosh(x)+1)/sinh(x)=1/tanh(x/2)$
$1/tanh^2(x)-1=1/sinh^2(x)$
应该可以给出$B^2-A^2/4<0$时的公式

yuange1975 发表于 2023-10-18 19:06:12

有意思的数列

前段时间做了这样的题目a(n+1)=sqrt(S(n)^2-S(n)+2)。

更一般性数列a(n)，S(n)是数列前n项之和，S(1)=a(1)，S(n+1)=S(n)+a(n+1)。
如果有：
a(n+1)=sqrt(S(n)^2+A*S(n)+B)，a(1)可以不要求一定大于等于0，A、B是已知常数。
求a(n)。


可以先去掉S(n)得到：

a(n+1)^2=S(n)^2+A*S(n)+B（1）

a(n+2)^2=S(n+1)^2+A*S(n+1)+B （2）


(2)-(1):

a(n+2)^2-a(n+1)^2=(S(n+1)+S(n))*a(n+1)+A*a(n+1)

=(2S(n+1)-a(n+1))*a(n+1)+A*a(n+1)

所以：

2S(n+1)=(a(n+2)^2-A*a(n+1))/a(n+1)(3)


2S(n+2)=(a(n+3)^2-A*a(n+2))/a(n+2) (4)

(4)-(3):

2a(n+2)=a(n+3)^2/a(n+2)-a(n+2)^2/a(n+1)




a(n+3)^2/a(n+2)^2=a(n+2)/a(n+1)+2 (5)

⚠️⚠️⚠️注意这个等式成立条件是n>=1

设a(n+1)/a(n)=b(n)，有：

b(n+1)^2=b(n)+2

b(n+1)=sqrt(2+b(n)) (6)



a1=a1
a2=sqrt(a1*a1+A*a1+B)
a3=sqrt((a1+a2)^2+A*(a1+a2)+B)

b1=a3/a2>=0

只要a2、a3符合要求。



1、如果0<=b1<=2

设b(1)=2*cosx
x=acos(b1/2)
cosx=2(cos(x/2))^2-1

所以：

b(n)=2cos(x/2^(n-1))

a(n)=a3*sin(x)/sin(x/2^(n-3)) n>=3


2、如果b1>=2

设b(1)=2*coshx
x=acosh(b1/2)
coshx=2(cosh(x/2))^2-1

所以：

b(n)=2cosh(x/2^(n-1))

a(n)=a3*sinh(x)/sinh(x/2^(n-3)) n>=3




验证Python代码：

from mpmath import *
mp.dps=8
num=5
def ansn(a1,A,B):
    S=a1
    a=a1
    for i in range(2):
      an=sqrt(S*S+A*S+B)
      S+=an
      b=an/a
      a=an   
    print("a,b=",a,b)
    f=acos
    g=sin
    if b>=2:
       f=acosh
       g=sinh
    x=f(b/2)
    for i in range(num):
      an=sqrt(S*S+A*S+B)
      S+=an
      bn=a*g(x)/g(x/2**(i+1))
      print("an,bn=",an,bn)
ansn(100,-10,1)
ansn(10,-1,2)





我们再来仔细分析一下AB和初值x下a2、a3以及b1=a3/a2的情况。


a1=x
a2=sqrt(x^2+Ax+B)
a3=sqrt((x+a2)^2+A*(x+a2)+B)

(a3/a2)^2=2+a2*(2x+A)/a2^2
=2+(2x+A)/sqrt(x^2+Ax+B)

=2+sign(2x+A)*sqrt(4+(A^2-4B)/(x^2+Ax+B))

(7)

b1=sqrt(2+sign(2x+A)*sqrt(4+(A^2-4B)/(x^2+Ax+B)))    (8)



1、如果A^2-4B<0

那么任何初始值x，a2、a3都有意义，且0<b1<2，所以函数用acos和sin。

2、如果A^2-4B=0
      如果a1=x<=-A/2，a2=-(x+A/2)，an=0 n>=3
      如果a1=x>-A/2，a2=x+A/2，an=a2*2^(n-2) n>=2

3、如果A^2-4B>0

x1=-A/2-1/2*sqrt(A^2-4B)
x2=-A/2+1/2*sqrr(A^2-4B)

如果x1<a1=x<x2，a2无意义

如果a1=x=x1或者a1=x=x2,an=0，n>=2
如果a1>x2，b1>2，所以函数用acosh和sinh。
如果a1=x<x1，a2有意义，但a3就一定无意义，上面式子很容易看出(a3/a2)^2<0。

前面an写成a3的表达式，bn倒推一个就可以写成a2的表达式。

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