数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 115|回复: 3

[原创] 神奇的数列

[复制链接]
发表于 2022-6-12 17:25:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
已知正数数列${a_n}$,前$n$项和的表达是${S_n}$, 即$S_1=a_1, S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$, $a_1 \gt 0$给定, 对于任意的$n$,存在关系$a_{n+1}^2 = S_n^2 +A S_n +B^2 $,求$a_n$
注意,当$A\ge -2|B|$时,$a_{n+1}$的定义是永远唯一的,这时正数列总是有意义的。
但是即使$A \lt -2|B|$时,如果选择$a_1$大于$x^2+Ax+B^2=0$的大的正根,由于$S_1=a_1, S_1^2+A S_1+B^2 \gt 0$,可以找到合法唯一的$a_2 \gt 0$, 由于这是得出$S_2=S_1+a_2 \gt S_1$也大于上面二次方程的大根,同样可以继续得出唯一确定$a_3$, ... 所以这种情况也可以唯一确定合法序列
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-6-14 07:07:31 | 显示全部楼层
我先给出两个个案例.
当 $a_n =\frac{\sin (\theta )}{\sin (2^{1-n}\theta )}$时,计算得到$S_n = \frac{\sin (\theta -2^{-n}\theta )}{\sin (2^{-n}\theta)}$,然后代入$a_{n+1}^2 =S_n^2 +A S_n +B^2$,待定系数, 计算得到$A = 2 \cos ( \theta ), B=1$

当 $a_n =\frac{\sinh (\theta )}{\sinh (2^{1-n}\theta )}$时,计算得到$S_n = \frac{\sinh (\theta -2^{-n}\theta )}{\sinh (2^{-n}\theta)}$,然后代入$a_{n+1}^2 =S_n^2 +A S_n +B^2$,待定系数, 计算得到$A = 2 \cosh ( \theta ), B=1$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-6-14 19:12:01 | 显示全部楼层


a1234.png 如图。
$a_{n+1}^2 = S_n^2 +A S_n +B^2=(\frac{A}{2}+S_{n})^2+(B^2-\frac{A^2}{4})$
若 $(B^2-\frac{A^2}{4})>0$,设$c^2=(B^2-\frac{A^2}{4})$

$\frac{c}{a_{2}}=sin\theta$,$\frac{c}{a_{n}}=sin\frac{\theta}{2^{n-2}}$
$\theta=arctan\frac{c}{\frac{A}{2]+a)$

$a_{n}=sin\frac{arctan\frac{c}{\frac{A}{2]+a)}{2^{n-2}},c=sqrt{B^2-\frac{A^2}{4}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-6-14 19:25:19 | 显示全部楼层
若$(B^2-\frac{A^2}{4})=0$,则有 $a_{n}=2^{n-2}(a+\frac{A}{2})$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2022-7-1 09:39 , Processed in 0.079669 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表