5# liangbch
不知这些速算法是否适合“移植”到计算机？
本帖最后由 数学星空 于 2009-10-22 08:53 编辑
我们怎样算
我们用的原则是：如果解答是L位整数，我们只要用前L位(有时只要L-1位)或后L位就够了.用后L位的方法见附录二，先说前一方法.以前
当那位教授说要开201位数的23方时，以23除201余17，就能预测答数是9位数.当教授写到第六、七位时，我们就在Sharp 506上按这六位和七位数，乘以1016，然后按开方钮算出
(9.16748×10^16)^1/23=5.46372873，
(9.167486×10^16)^1/23=5.46372892，
这样我们定出了答数的前七位：5，463，728，后二位已由上节的方法决定了，因此答数应该是546，372，871.其实，更进一步考虑，只需利用这个201位数的前八位数字就能在计算器上得到它的23次方根(证明见下面的附记)：
(9.1674867*10^16)^{1/23}=5.46372891
但不幸的是，把这个数乘23次方，结果与原来给的数不相符(见附录一).与原题比较，发现原题不但尾巴错了，而且在第八和第九位之间少了一个6.竟想不到Univac 1180把题目出错了，也许是出题的人故意这样做的.为什么沙昆塔拉这次没能发现这个错误？看来她可能也是根据前八位算出了结果，而没对解答进行验算.
我们的习题没有白做，答数错了我们发现了，连题目出错了我们也纠正了.
结论是：在教授写到91，674，867时，我们在计算器上按上这八个数字。再乘1016，然后按钮开23方就可算出答案，总共约用20″就够了，也就是比那个教授写完这个数还要快3分40秒，比沙昆塔拉快了4分半钟.
既然已经知道答数是九位数，或者说在要求答数有九位有效数字时，我们就只需把前八位或九位数字输入计算机就够了，而无需把201位数全部输入机器，进行一些多余的计算.
附记 以a表示那个201位数，b也表示一个201位数，它的前L位与a相同，后面各位都是零.由中值公式，可知存在一个ξ(b＜ξ＜a)使
a^{1/23}-b^{1/23}=ξ^{1/23}*(a-b)/{23*ξ}<19^9*10^(201-l)/{23*9*100^200}=10^(10-l)/207
当取l=8时，上式小于1/2，由b^{1/23}的前九位(第十位四舍五入)就可给出a^{1/23}.
取自<华罗庚科普著作选集>
下面讲一个虚构的故事，在沙昆塔拉计算表演后，有一天教授要给学生们出一道计算题.一位助手取来了题目.是一个871位数开97方，要求答案有9位有效数字.教授开始在黑板上抄这个数：456，378，192，765，431，892，634，578，932，246，653，811，594，667，891，992，354，467，768，892，……当抄到二百多位后，教授的手已经发酸了.“唉！”他叹了一口气，把举着的手放下甩了一下.这时一位学生噗嗤一声笑了起来，对教授说，当您写出八位数字后，我已把答案算出来了，它是588，415，036.那位助手也跟着笑了.他说，本来后面这些数字是随便写的，它们并不影响答数.这时教授恍然大悟，“哈哈，我常给你们讲有效数字，现在我却把这个概念忘了.”
取自<华罗庚科普著作选集>
多余的话
我不否认沙昆塔拉这样的计算才能.对我来说，不要说运算了，就是记忆一个六、七位数都记不住.但我总觉得多讲科学化比多讲神秘化好些，科学化的东西学得会，神秘化的东西学不会，故意神秘化就更不好了.有时传播神秘化的东西比传播科学更容易些.在科学落后的地方，一些简单的问题就能迷惑人.在科学进步的地方，一些较复杂的问题也能迷惑人.看看沙昆塔拉能在一个科学发达的国家引起轰动，就知道我们该多么警惕了，该多么珍视在实践中考验过的科学成果了，该多么慎重地对待一些未到实践中去过而夸夸其谈的科学能人了.
同时也可以看到，手中拿了最先进的科学工具，由于疏忽或漫不经心而造成的教训.现代计算工具能计算得很快很准，但也有一个缺点，一旦算错了，不容易检查出来.对于计算象201位数字开23次方这类的问题——多少属于数学游戏性质的问题，算错了无所谓，而对在实际运用中的问题算错了就不是玩的.“二万条指令”出错的可能性多了，而在演算过程中想法少用或不用计算机演算，检查起来就不那么难了.这说明人应该是机器的主人，而不是机器的奴隶.至于大算一阵吓唬人的情况就更不值一提了.这里我们还可以看到基本功训练的重要性.如果基本功较差，那么就是使用大型计算机来演算201位数开23次方也要1分多钟才能算完.而有了很好的基本功，就是用小计算器也能花比1分钟少的时间算出来.
这是一篇可写可不写的文章，我之所以写出的原因，在于我从沙昆塔拉这件事中得到了启发，受到教育，我想，这些也许对旁人也会是有用的.
取自<华罗庚科普著作选集>
11# gxqcn
适用于心算的速算法多半和凑10，100等有关。对于手工计算，因为一次只可计算1位10进制数，所有数的尾如果是0的话，可简化计算。而对于主流的32bit的计算机，一次可计算2个32bit数的四则运算。所有适用于手工计算的速算法，一般对于计算机来说并不适用。
我从小就对计算感兴趣，在高一的某个寒假，曾用只有8位精度的计算器 计算出数10个数的常用对数，精度达26位。
那很不简单！
不仅需要一点微积分知识，还要进行一些误差分析等，并且需要相当的执着精神。
我感觉速算没什么特殊，跟农夫种田一样，需要事先积累记忆一些东西，就像程序里的查表一样
史丰收是我们小时候就很出名的了，可惜英年早逝。表示哀悼。
人生无常，身体最重要。
至于心算，我也很不在行。但我相信每个人经过练习都可以达到“惊人“的地步。有些人天生异禀，比如euler，如能下20盘盲棋的柳大华，能过目不忘的...，非常人所及。据说高斯也可以为兴趣随便学一门外语。hanmilton、冯诺伊曼等都是记忆超强。
但我想对于研究数学，如同体育，没天赋做冠军是不太可能的，但通过努力达到1级运动员还是可以的。
尤其做研究，越到深处，感觉主要要靠理解了。这不是短跑、长跑、马拉松，而是向唐僧取经式的以一生做代价的超长跑。在这个漫长而复杂的过程中，你的百米成绩或你能速算多少位乘法的影响已经显得不那么重要了，关键是朝着目标的持续前进。
理解这个世界，除了逻辑推理能力外，个人越来越觉得心胸也很重要。
呵呵
我手算过10000内质数表
抄在几张初中的习题书的封页中
后来丢了
深以为憾