求证∠ACK=∠BCF

Arc41817 发表于 2022-8-16 04:57:24

如图所示，锐角三角形∆ABC中AC<BC。D,E,F分别是各边的中点。Dd垂直于AC，Ee垂直于BC。CF交Dd于点d，交Ee于点e。Ad和Be相交于点K。求证∠ACK=∠BCF

aimisiyou 发表于 2022-8-16 14:22:59

坐标系法。

gxqcn 发表于 2022-8-16 17:13:13

似乎应该是 ∠ACK ≠ ∠BCF 才对。

可以作一个 ∆ABC，让 ∠ACB=89°（略小于直角即可），∠ABC=30°，实际度量一下。

当 ∠ACB 无限接近 90° 时，则点 d、e 均无限接近点 F，
点 K（源于 Ad 和 Be 的交点），也将无限接近点 F（此处不够严谨），
但此时 ∠ACF > ∠BCF（∵ AC<BC）

dlsh 发表于 2022-8-16 22:48:40

楼主没错

dlsh 发表于 2022-8-16 23:29:19

钝角也对

aimisiyou 发表于 2022-8-29 17:50:21

什么情况下∠ACK=∠BCF=∠KCF?

yigo 发表于 2022-8-31 14:29:21

不想画图了，令Cd=Ad=x，de=y，eF=z，Ce=Be=x+y，梅涅劳斯定理：三角形dAF被直线KeB所截，可得Kd=xy/(2z+y)，三角形eBF被直线dKA所截，可得Ke=(x+y)y/(2z+y)，则KA/KB=(Ad-Kd)/(Be+Ke)=xz/[(x+y)(z+y)]，
设CK交AB于J，BK交AC于S，梅涅劳斯定理：三角形ABS被直线CKJ所截，可得AJ/JB=KS/BK*CA/SC，三角形CAd被直线SKe所截，可得CS/SA=Kd(x+y)/[(x-Kd)y]，即CA/SC=x(y+Kd)/，
三角形Kde被直线CSA所截，最终可得KS=Ke(x-Kd)/(y+Kd)，BK=x+y+Ke，以上带入AJ/JB=KS/BK*CA/SC=xz/[(x+y)(z+y)]，
即KA/KB=AJ/JB,即JK平分角AKB，
设Dd交Ce于O(三角形ABC的外接圆圆心)，Dd交CK于P,Ee交AB于E'，求证∠ACK=∠BCF即是证明∠CPD=∠BeE，即证∠dPK=∠KeE'，即证1/2∠AKB=∠JKB=∠DOE'=∠C，∠AOB是∠C的圆心角，及证明∠AKB=∠AOB，即证明ABOK四点共圆，在几何画板上画了下，是共圆的，上班了，有空了，看下怎么证明共圆

补充内容 (2022-8-31 22:59):
∠AKB=∠Kde+∠Ked=2∠ACd+2∠BCd=2C，证毕。

dlsh 发表于 2022-9-1 21:40:12

aimisiyou 发表于 2022-8-29 17:50
什么情况下∠ACK=∠BCF=∠KCF?

Clear["Global`*"]

\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ = 1/a;
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$ = 1/b;
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ = 1/c;
Midpoint := (a + b)/2;
\!$\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]$ := (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ +
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$)/2;(*中点公式*)

kAB := (a - b)/(
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$);
\!$\*OverscriptBox["kAB", "_"]$ := 1/kAB;(*复斜率定义*)
kAB := kAB/kAB;(*e^(2iB) 等于复斜率相除*)

\!$\*OverscriptBox["Jd", "_"]$ := -((a1 - k1
\!$\*OverscriptBox["a1", "_"]$ - (a2 - k2
\!$\*OverscriptBox["a2", "_"]$))/(
k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
Jd := -((k2 (a1 - k1
\!$\*OverscriptBox["a1", "_"]$) - k1 (a2 - k2
\!$\*OverscriptBox["a2", "_"]$))/(k1 - k2));
FourPoint := ((
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ d - c
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$) (a - b) - (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ b - a
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) (c - d))/((a - b) (
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$) - (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)

\!$\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]$ := -(((c
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ d) (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) - ( a
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ b) (
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$))/((a - b) (
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$) - (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) (c - d)));

e = Midpoint;
\!$\*OverscriptBox["e", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]$; d = Midpoint;
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]$; f = Midpoint;
\!$\*OverscriptBox["f", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]$;

d0 = Jd, c];
\!$\*OverscriptBox["d0", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["Jd", "_"]$, c]; e0 =
Jd, c];
\!$\*OverscriptBox["e0", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["Jd", "_"]$,
c];(*d0和e0代替d和e，防止死循环*)
k = FourPoint;
\!$\*OverscriptBox["k", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]$;

Simplify[{1, d0,
\!$\*OverscriptBox["d0", "_"]$, e0,
\!$\*OverscriptBox["e0", "_"]$, k,
\!$\*OverscriptBox["k", "_"]$}]
Simplify[{2, kAB, kAB}]
Simplify[{3, kAB/(-a c), -a b/kAB, ,
kAB}](*AC和AB的复斜率是-ac,-ab,验证\ACK=\BCF*)
Simplify[{4, kAB, b/a}](*验证\AKB=2C*)

第三行结果说明相等条件需要解二次方程，而不是四次。
从计算结果看，还有更深刻的几何意义。

dlsh 发表于 2022-9-2 22:09:08

假设外接圆心O在原点，这些结果是各点对应的复数。
你需要掌握复斜率概念，才能理解可以看签名链接，不过这篇论文把复斜率写成共轭比。第三项表示$e^{2i\angle ACK}$,$e^{2i\angle BCF}$,用以验证这两个角相等。程序中有一个错误，所以不相等。修改了程序，用向量商也可以证明，标记31说明$\frac{\overrightarrow{CK}}{\overrightarrow{CA}}=\frac{1}{2}\frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CF}}$

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求证∠ACK=∠BCF