求证∠ACK=∠BCF

Arc41817

如图所示，锐角三角形&#8710;ABC中AC<BC。D,E,F分别是各边的中点。Dd垂直于AC，Ee垂直于BC。CF交Dd于点d，交Ee于点e。Ad和Be相交于点K。求证∠ACK=∠BCF

aimisiyou

坐标系法。

gxqcn

似乎应该是 ∠ACK ≠ ∠BCF 才对。

可以作一个 &#8710;ABC，让 ∠ACB=89°（略小于直角即可），∠ABC=30°，实际度量一下。

当 ∠ACB 无限接近 90° 时，则点 d、e 均无限接近点 F，
点 K（源于 Ad 和 Be 的交点），也将无限接近点 F（此处不够严谨），
但此时 ∠ACF > ∠BCF（∵ AC<BC）

dlsh

楼主没错

dlsh

钝角也对

aimisiyou

什么情况下∠ACK=∠BCF=∠KCF?

yigo

不想画图了，令Cd=Ad=x，de=y，eF=z，Ce=Be=x+y，梅涅劳斯定理：三角形dAF被直线KeB所截，可得Kd=xy/(2z+y)，三角形eBF被直线dKA所截，可得Ke=(x+y)y/(2z+y)，则KA/KB=(Ad-Kd)/(Be+Ke)=xz/[(x+y)(z+y)]，
设CK交AB于J，BK交AC于S，梅涅劳斯定理：三角形ABS被直线CKJ所截，可得AJ/JB=KS/BK*CA/SC，三角形CAd被直线SKe所截，可得CS/SA=Kd(x+y)/[(x-Kd)y]，即CA/SC=x(y+Kd)/[Kd(x+y)]，
三角形Kde被直线CSA所截，最终可得KS=Ke(x-Kd)/(y+Kd)，BK=x+y+Ke，以上带入AJ/JB=KS/BK*CA/SC=xz/[(x+y)(z+y)]，
即KA/KB=AJ/JB,即JK平分角AKB，
设Dd交Ce于O(三角形ABC的外接圆圆心)，Dd交CK于P,Ee交AB于E'，求证∠ACK=∠BCF即是证明∠CPD=∠BeE，即证∠dPK=∠KeE'，即证1/2∠AKB=∠JKB=∠DOE'=∠C，∠AOB是∠C的圆心角，及证明∠AKB=∠AOB，即证明ABOK四点共圆，在几何画板上画了下，是共圆的，上班了，有空了，看下怎么证明共圆

补充内容 (2022-8-31 22:59):
∠AKB=∠Kde+∠Ked=2∠ACd+2∠BCd=2C，证毕。

dlsh

aimisiyou 发表于 2022-8-29 17:50
什么情况下∠ACK=∠BCF=∠KCF?

1. 
   
2. 
   
3. Clear["Global`*"]
   
4. 
   
5. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 1/a;
   
6. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b;
   
7. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 1/c;
   
8. Midpoint[a_, b_] := (a + b)/2;
   
9. \!\(\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]\)[a_, b_] := (
   
10. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) +
    
11. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\))/2;(*中点公式*)
    
12. 
    
13. kAB[a_, b_] := (a - b)/(
    
14. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
15. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
16. \!\(\*OverscriptBox["kAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/kAB[a, b];(*复斜率定义*)
    
17. kAB[a_, b_, c_] := kAB[a, b]/kAB[b, c];(*e^(2iB) 等于复斜率相除*)
    
18. 
    
19. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
20. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
    
21. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
    
22.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
23. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
24. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
    
25. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
    
26. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
    
27. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
    
28. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
    
29. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
    
30. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
31. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
32. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
33. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
34. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
35. 
    
36. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
37. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
38. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
39. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
40. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
41. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
42. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
43. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
44. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
45. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
46. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
47. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
48. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
49. 
    
50. e = Midpoint[c, b];
    
51. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
    
52. \!\(\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]\)[c, b]; d = Midpoint[c, a];
    
53. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) =
    
54. \!\(\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]\)[c, a]; f = Midpoint[b, a];
    
55. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
    
56. \!\(\*OverscriptBox["Midpoint", "_"]\)[b, a];
    
57. 
    
58. d0 = Jd[a c, d, kAB[c, f], c];
    
59. \!\(\*OverscriptBox["d0", "_"]\) =
    
60. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[a c, d, kAB[c, f], c]; e0 =
    
61. Jd[b c, e, kAB[c, f], c];
    
62. \!\(\*OverscriptBox["e0", "_"]\) =
    
63. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[b c, e, kAB[c, f],
    
64.   c];(*d0和e0代替d和e，防止死循环*)
    
65. k = FourPoint[b, e0, d0, a];
    
66. \!\(\*OverscriptBox["k", "_"]\) =
    
67. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[b, e0, d0, a];
    
68. 
    
69. Simplify[{1, d0,
    
70. \!\(\*OverscriptBox["d0", "_"]\), e0,
    
71. \!\(\*OverscriptBox["e0", "_"]\), k,
    
72. \!\(\*OverscriptBox["k", "_"]\)}]
    
73. Simplify[{2, kAB[c, k], kAB[c, f]}]
    
74. Simplify[{3, kAB[c, k]/(-a c), -a b/kAB[c, f], ,
    
75.   kAB[k, c, f]}](*AC和AB的复斜率是-ac,-ab,验证\[Angle]ACK=\[Angle]BCF*)
    
76. Simplify[{4, kAB[a, k, b], b/a}](*验证\[Angle]AKB=2C*)
    

复制代码

第三行结果说明相等条件需要解二次方程，而不是四次。
从计算结果看，还有更深刻的几何意义。

dlsh

假设外接圆心O在原点，这些结果是各点对应的复数。
你需要掌握复斜率概念，才能理解可以看签名链接，不过这篇论文把复斜率写成共轭比。第三项表示$e^{2i\angle ACK}$,$e^{2i\angle BCF}$,用以验证这两个角相等。程序中有一个错误，所以不相等。修改了程序，用向量商也可以证明，标记31说明\(\frac{\overrightarrow{CK}}{\overrightarrow{CA}}=\frac{1}{2}\frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CF}}\)