存在无穷多组 {a, b, c, d}，使得 ab+1、ac+1、ad+1、bc+1、bd+1、cd+1 均为平方数。
本帖最后由 uk702 于 2023-1-7 16:20 编辑证明：存在无穷多组 {a, b, c, d}，使得 ab+1、ac+1、ad+1、bc+1、bd+1、cd+1 均为完全平方数。
（转自：https://tieba.baidu.com/p/8212561116)
问题：
1）如何证明？
2）是否对每一个正整数 n，都有解 {n, b, c, d}？
使用 Pari/GP 算了一下：
n=1000; for(i=2, n, u=i^2; for(j=i+1, n, v=j^2; fordiv(u-1, a, b=(u-1)/a; if(a < b, fordiv(v-1, c, d=(v-1)/c; if(c < d && issquare(a*c + 1) && issquare(a * d + 1) && issquare(b*c + 1) && issquare(b*d + 1), print(a, "|", b, "|", c, "|", d)))))));
1|3|8|120
1|3|120|1680
1|8|3|120
2|4|12|420
1|8|15|528
1|8|120|4095
1|15|8|528
3|5|16|1008
1|15|24|1520
3|8|1|120
2|12|4|420
1|24|15|1520
4|6|20|1980
3|8|21|2080
2|12|24|2380
1|24|35|3480
5|7|24|3432
1|35|24|3480
1|35|48|6888
4|12|2|420
3|16|5|1008
2|24|12|2380
6|8|28|5460
4|12|30|5852
3|16|33|6440
1|48|35|6888
2|24|40|7812
1|48|63|12320
3|21|8|2080
7|9|32|8160
3|21|40|10208
1|63|48|12320
5|16|3|1008
4|20|6|1980
2|40|24|7812
8|10|36|11628
5|16|39|12600
4|20|42|13572
3|33|16|6440
9|11|40|15960
8|15|1|528
1|120|3|1680
6|20|4|1980
5|24|7|3432
1|120|8|4095
4|30|12|5852
3|40|21|10208
2|60|40|19404
10|12|44|21252
8|15|45|21736
8|21|3|2080
7|24|5|3432
6|28|8|5460
4|42|20|13572
3|56|33|22360
5|39|16|12600
8|28|6|5460
7|32|9|8160
4|56|30|27060
5|51|24|24640
12|24|2|2380
9|32|7|8160
8|36|10|11628
6|48|20|23188
...
本帖最后由 uk702 于 2023-1-7 18:53 编辑
问题1，感谢百度吧的网友，给出一个解，现已经解决了
经验证，
\begin{cases}
a=1 \\
b=x^2-1 \\
c=(x+1)^2-1\\
d=(b+c)^2-1;
\end{cases}
是其中的一组解。 本帖最后由 northwolves 于 2023-1-7 19:11 编辑
易知$(a=n,b=4(n+1),c=3(3n+2),d=4 (6 n + 5) (3 n + 1) (2 n + 1))$是一组满足条件的解
此时
$ab+1=(2n+1)^2$
$ac+1=(3n+1)^2$
$ad+1=(12 n^2+10 n + 1)^2$
$bc+1=(6n+5)^2$
$bd+1=(24n^2+32n+9)^2$
$cd+1=(36n^2+42n+11)^2$
设$a=n，b<c$,
$nb+1=(sn+1)^2->b=s^2n+2s$
$nc+1=(tn+1)^2->c=t^2n+2t$
$bc+1=(s^2n+2s)(t^2n+2t)+1=(stn+x)^2->t=s+1$
$d$不能再取$xn+y$的形式，至少也是3次，$d=r_3^2n^3+r_2n^2+r_1n+r_0$,可以待定系数求解。 本帖最后由 uk702 于 2023-1-8 07:42 编辑
结合 #2 和 #3 楼，我感觉应该还有一个更普遍的通式。诚邀@王守恩老师 及 其它专家老师，能否结合 #2 和 #3 楼，写出一个更普遍的通式，比如 a = n , b=kn + u, ... uk702 发表于 2023-1-8 06:50
结合 #2 和 #3 楼，我感觉应该还有一个更普遍的通式。诚邀@王守恩老师 及 其它专家老师，能否结合 #2 和 #3 ...
3楼的通式：
\(\begin{cases}
a = n\\
b = k(kn+2)\\
c = (k+1)((k+1)n+2)\\
d = 4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)
\end{cases}\) 理论上
\(\begin{cases}
a = n\\
b = k(kn+2)\\
c = 4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)\\
d = F_{2m+1}(n),m>1
\end{cases}\)
也应该有解的 本帖最后由 northwolves 于 2023-1-8 22:39 编辑
7楼通式：
\begin{cases}
a=n\\
b=k(kn+2)\\
c=4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)\\
d=(2kn+1)(2kn+3)(2(k^2+k)n+3k+1)(2(k^2+k)n^2+(5k+3)n+2)
\end{cases}
\begin{cases}
ab+1=(1+kn)^2\\
ac+1=(1+(2+4k)n+(2k+2k^2)n^2)^2\\
ad+1=(1+(3+9k)n+(8k+12k^2)n^2+(4k^2+4k^3)n^3)^2\\
bc+1=(1+4k+(4k+6k^2)n+(2k^2n+2k^3)n^2)^2\\
bd+1=(1+6k+(9k+19k^2)n+(12k^2+16k^3)n^2+(4k^3+4k^4)n^3)^2\\
cd+1=(5+12k+(6+40k+50k^2)n+(22k+84k^2+70k^3)n^2+(24k^2+64k^3+40k^4)n^3+(8k^34+16k^4)n^4+8k^5n^4)^2\\
\end{cases} 我晕，MMA算出来还得手工合并同类项，哪个函数可以实现？ 本帖最后由 王守恩 于 2023-1-11 16:52 编辑
0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, ...
Join[{1}, Fibonacci]]（* G. C. 格鲁贝尔，2022 年 12 月 16 日 *）
A001906 好像还没有下面的说法。
003×000+1=001^2
003×001+1=002^2
008×001+1=003^2
008×003+1=005^2
021×003+1=008^2
021×008+1=013^2
055×008+1=021^2
055×021+1=034^2
144×021+1=055^2
144×055+1=089^2
377×055+1=144^2
377×144+1=233^2
987×144+1=377^2
987×377+1=610^2
我也就想：d(a,b,c,d中最大的一个)可以是那些数(光是1楼还看不出来)？
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