数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 191|回复: 11

[转载] 存在无穷多组 {a, b, c, d},使得 ab+1、ac+1、ad+1、bc+1、bd+1、cd+1 均为平方数。

[复制链接]
发表于 2023-1-7 16:16:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
本帖最后由 uk702 于 2023-1-7 16:20 编辑

证明:存在无穷多组 {a, b, c, d},使得 ab+1、ac+1、ad+1、bc+1、bd+1、cd+1 均为完全平方数。
(转自:https://tieba.baidu.com/p/8212561116)

问题:
1)如何证明?
2)是否对每一个正整数 n,都有解 {n, b, c, d}?

使用 Pari/GP 算了一下:

  1. n=1000; for(i=2, n, u=i^2; for(j=i+1, n, v=j^2; fordiv(u-1, a, b=(u-1)/a; if(a < b, fordiv(v-1, c, d=(v-1)/c; if(c < d && issquare(a*c + 1) && issquare(a * d + 1) && issquare(b*c + 1) && issquare(b*d + 1), print(a, "|", b, "|", c, "|", d)))))));
复制代码



1|3|8|120      
1|3|120|1680   
1|8|3|120      
2|4|12|420     
1|8|15|528     
1|8|120|4095   
1|15|8|528     
3|5|16|1008   
1|15|24|1520   
3|8|1|120      
2|12|4|420     
1|24|15|1520   
4|6|20|1980   
3|8|21|2080   
2|12|24|2380   
1|24|35|3480   
5|7|24|3432   
1|35|24|3480   
1|35|48|6888   
4|12|2|420     
3|16|5|1008   
2|24|12|2380   
6|8|28|5460   
4|12|30|5852   
3|16|33|6440   
1|48|35|6888   
2|24|40|7812   
1|48|63|12320  
3|21|8|2080   
7|9|32|8160   
3|21|40|10208  
1|63|48|12320  
5|16|3|1008   
4|20|6|1980   
2|40|24|7812   
8|10|36|11628  
5|16|39|12600  
4|20|42|13572  
3|33|16|6440   
9|11|40|15960  
8|15|1|528     
1|120|3|1680   
6|20|4|1980   
5|24|7|3432   
1|120|8|4095   
4|30|12|5852   
3|40|21|10208  
2|60|40|19404  
10|12|44|21252
8|15|45|21736  
8|21|3|2080   
7|24|5|3432   
6|28|8|5460   
4|42|20|13572  
3|56|33|22360  
5|39|16|12600  
8|28|6|5460   
7|32|9|8160   
4|56|30|27060  
5|51|24|24640  
12|24|2|2380   
9|32|7|8160   
8|36|10|11628  
6|48|20|23188  
...
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-1-7 18:38:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-1-7 18:53 编辑

问题1,感谢百度吧的网友,给出一个解,现已经解决了

经验证,

\begin{cases}
a=1 \\
b=x^2-1 \\
c=(x+1)^2-1\\
d=(b+c)^2-1;
\end{cases}

是其中的一组解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-7 18:59:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2023-1-7 19:11 编辑

易知$(a=n,b=4(n+1),c=3(3n+2),d=4 (6 n + 5) (3 n + 1) (2 n + 1))$是一组满足条件的解
此时
$ab+1=(2n+1)^2$
$ac+1=(3n+1)^2$
$ad+1=(12 n^2+10 n + 1)^2$
$bc+1=(6n+5)^2$
$bd+1=(24n^2+32n+9)^2$
$cd+1=(36n^2+42n+11)^2$

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
uk702 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 威武!给力!霸气!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-7 22:35:22 | 显示全部楼层
设$a=n,b<c$,
$nb+1=(sn+1)^2->b=s^2n+2s$
$nc+1=(tn+1)^2->c=t^2n+2t$
$bc+1=(s^2n+2s)(t^2n+2t)+1=(stn+x)^2->t=s+1$
$d$不能再取$xn+y$的形式,至少也是3次,$d=r_3^2n^3+r_2n^2+r_1n+r_0$,可以待定系数求解。

评分

参与人数 1威望 +12 金币 +12 贡献 +12 经验 +12 鲜花 +12 收起 理由
uk702 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 对您的敬仰如洪水涛涛!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-1-8 06:50:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-1-8 07:42 编辑

结合 #2 和 #3 楼,我感觉应该还有一个更普遍的通式。诚邀@王守恩老师 及 其它专家老师,能否结合 #2 和 #3 楼,写出一个更普遍的通式,比如 a = n , b=kn + u, ...
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-8 10:08:44 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2023-1-8 06:50
结合 #2 和 #3 楼,我感觉应该还有一个更普遍的通式。诚邀@王守恩老师 及 其它专家老师,能否结合 #2 和 #3 ...

3楼的通式:

\(\begin{cases}
    a = n\\
    b = k(kn+2)\\
    c = (k+1)((k+1)n+2)\\
    d = 4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)
\end{cases}\)

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
uk702 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Thank you very much.

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-8 10:20:01 | 显示全部楼层
理论上
\(\begin{cases}
    a = n\\
    b = k(kn+2)\\
    c = 4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)\\
    d = F_{2m+1}(n),m>1
\end{cases}\)
也应该有解的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-8 22:33:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2023-1-8 22:39 编辑

7楼通式:

\begin{cases}
a=n\\
b=k(kn+2)\\
c=4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)\\
d=(2kn+1)(2kn+3)(2(k^2+k)n+3k+1)(2(k^2+k)n^2+(5k+3)n+2)
\end{cases}

\begin{cases}
ab+1=(1+kn)^2\\
ac+1=(1+(2+4k)n+(2k+2k^2)n^2)^2\\
ad+1=(1+(3+9k)n+(8k+12k^2)n^2+(4k^2+4k^3)n^3)^2\\
bc+1=(1+4k+(4k+6k^2)n+(2k^2n+2k^3)n^2)^2\\
bd+1=(1+6k+(9k+19k^2)n+(12k^2+16k^3)n^2+(4k^3+4k^4)n^3)^2\\
cd+1=(5+12k+(6+40k+50k^2)n+(22k+84k^2+70k^3)n^2+(24k^2+64k^3+40k^4)n^3+(8k^34+16k^4)n^4+8k^5n^4)^2\\
\end{cases}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-8 22:36:25 | 显示全部楼层
我晕,MMA算出来还得手工合并同类项,哪个函数可以实现?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-11 14:50:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2023-1-11 16:52 编辑

0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, ...

Join[{1}, Fibonacci[2*Range[15]]](* G. C. 格鲁贝尔,2022 年 12 月 16 日 *)

A001906        好像还没有下面的说法。

003×000+1=001^2
003×001+1=002^2
008×001+1=003^2
008×003+1=005^2
021×003+1=008^2
021×008+1=013^2
055×008+1=021^2
055×021+1=034^2
144×021+1=055^2
144×055+1=089^2
377×055+1=144^2
377×144+1=233^2
987×144+1=377^2
987×377+1=610^2

我也就想:d(a,b,c,d中最大的一个)可以是那些数(光是1楼还看不出来)?

点评

没看懂你想说什么。比如说,序列中能否找出长度 > 4 (或更多)的子序列 a1, a2, a3, a4, a5, ..., ak ,使得对任意 1 <= i < j <=k, ai aj + 1 为完全平方数吗?  发表于 2023-1-11 15:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2023-1-30 07:00 , Processed in 0.084092 second(s), 23 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表