存在无穷多组 {a, b, c, d}，使得 ab+1、ac+1、ad+1、bc+1、bd+1、cd+1 均为平方数。

uk702

证明：存在无穷多组 {a, b, c, d}，使得 ab+1、ac+1、ad+1、bc+1、bd+1、cd+1 均为完全平方数。
（转自：https://tieba.baidu.com/p/8212561116)

问题：
1）如何证明？
2）是否对每一个正整数 n，都有解 {n, b, c, d}？

使用 Pari/GP 算了一下：

1. n=1000; for(i=2, n, u=i^2; for(j=i+1, n, v=j^2; fordiv(u-1, a, b=(u-1)/a; if(a < b, fordiv(v-1, c, d=(v-1)/c; if(c < d && issquare(a*c + 1) && issquare(a * d + 1) && issquare(b*c + 1) && issquare(b*d + 1), print(a, "|", b, "|", c, "|", d)))))));

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1|3|8|120      
1|3|120|1680   
1|8|3|120      
2|4|12|420     
1|8|15|528     
1|8|120|4095   
1|15|8|528     
3|5|16|1008   
1|15|24|1520   
3|8|1|120      
2|12|4|420     
1|24|15|1520   
4|6|20|1980   
3|8|21|2080   
2|12|24|2380   
1|24|35|3480   
5|7|24|3432   
1|35|24|3480   
1|35|48|6888   
4|12|2|420     
3|16|5|1008   
2|24|12|2380   
6|8|28|5460   
4|12|30|5852   
3|16|33|6440   
1|48|35|6888   
2|24|40|7812   
1|48|63|12320  
3|21|8|2080   
7|9|32|8160   
3|21|40|10208  
1|63|48|12320  
5|16|3|1008   
4|20|6|1980   
2|40|24|7812   
8|10|36|11628  
5|16|39|12600  
4|20|42|13572  
3|33|16|6440   
9|11|40|15960  
8|15|1|528     
1|120|3|1680   
6|20|4|1980   
5|24|7|3432   
1|120|8|4095   
4|30|12|5852   
3|40|21|10208  
2|60|40|19404  
10|12|44|21252
8|15|45|21736  
8|21|3|2080   
7|24|5|3432   
6|28|8|5460   
4|42|20|13572  
3|56|33|22360  
5|39|16|12600  
8|28|6|5460   
7|32|9|8160   
4|56|30|27060  
5|51|24|24640  
12|24|2|2380   
9|32|7|8160   
8|36|10|11628  
6|48|20|23188  
...

uk702

问题1，感谢百度吧的网友，给出一个解，现已经解决了

经验证，

\begin{cases}
a=1 \\
b=x^2-1 \\
c=(x+1)^2-1\\
d=(b+c)^2-1;
\end{cases}

是其中的一组解。

northwolves

易知$(a=n,b=4(n+1),c=3(3n+2),d=4 (6 n + 5) (3 n + 1) (2 n + 1))$是一组满足条件的解
此时
$ab+1=(2n+1)^2$
$ac+1=(3n+1)^2$
$ad+1=(12 n^2+10 n + 1)^2$
$bc+1=(6n+5)^2$
$bd+1=(24n^2+32n+9)^2$
$cd+1=(36n^2+42n+11)^2$

northwolves

设$a=n，b<c$,
$nb+1=(sn+1)^2->b=s^2n+2s$
$nc+1=(tn+1)^2->c=t^2n+2t$
$bc+1=(s^2n+2s)(t^2n+2t)+1=(stn+x)^2->t=s+1$
$d$不能再取$xn+y$的形式，至少也是3次，$d=r_3^2n^3+r_2n^2+r_1n+r_0$,可以待定系数求解。

uk702

结合 #2 和 #3 楼，我感觉应该还有一个更普遍的通式。诚邀@王守恩老师 及 其它专家老师，能否结合 #2 和 #3 楼，写出一个更普遍的通式，比如 a = n , b=kn + u, ...

northwolves

uk702 发表于 2023-1-8 06:50
结合 #2 和 #3 楼，我感觉应该还有一个更普遍的通式。诚邀@王守恩老师 及 其它专家老师，能否结合 #2 和 #3 ...

3楼的通式：

\(\begin{cases}
    a = n\\
    b = k(kn+2)\\
    c = (k+1)((k+1)n+2)\\
    d = 4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)
\end{cases}\)

northwolves

理论上
\(\begin{cases}
    a = n\\
    b = k(kn+2)\\
    c = 4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)\\
    d = F_{2m+1}(n),m>1
\end{cases}\)
也应该有解的

northwolves

7楼通式：

\begin{cases}
a=n\\
b=k(kn+2)\\
c=4(kn+1)((k+1)n+1)((k^2+k)n+2k+1)\\
d=(2kn+1)(2kn+3)(2(k^2+k)n+3k+1)(2(k^2+k)n^2+(5k+3)n+2)
\end{cases}

\begin{cases}
ab+1=(1+kn)^2\\
ac+1=(1+(2+4k)n+(2k+2k^2)n^2)^2\\
ad+1=(1+(3+9k)n+(8k+12k^2)n^2+(4k^2+4k^3)n^3)^2\\
bc+1=(1+4k+(4k+6k^2)n+(2k^2n+2k^3)n^2)^2\\
bd+1=(1+6k+(9k+19k^2)n+(12k^2+16k^3)n^2+(4k^3+4k^4)n^3)^2\\
cd+1=(5+12k+(6+40k+50k^2)n+(22k+84k^2+70k^3)n^2+(24k^2+64k^3+40k^4)n^3+(8k^34+16k^4)n^4+8k^5n^4)^2\\
\end{cases}

northwolves

我晕，MMA算出来还得手工合并同类项，哪个函数可以实现？

王守恩

0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, ...

Join[{1}, Fibonacci[2*Range[15]]]（* G. C. 格鲁贝尔，2022 年 12 月 16 日 *）

A001906        好像还没有下面的说法。

003×000+1=001^2
003×001+1=002^2
008×001+1=003^2
008×003+1=005^2
021×003+1=008^2
021×008+1=013^2
055×008+1=021^2
055×021+1=034^2
144×021+1=055^2
144×055+1=089^2
377×055+1=144^2
377×144+1=233^2
987×144+1=377^2
987×377+1=610^2

我也就想：d(a,b,c,d中最大的一个)可以是那些数(光是1楼还看不出来)？