三角形正负等角中心间距
陈都先生1998年得到以下结果：试探、证明、推广、辩论，处处都有智慧碰撞的火花我们的问题是如何得到此结果？
要说是如何得到如此复杂的公式？确实有些不可思议（定理中提到的面积并未在公式中出现）。
满天繁星，也很难找到同等亮度为顶点的正三角形或正方形（我小时候的观察体会），
但神奇的是，三角形里却有许多奇妙的性质，不断被人们发现，
比如说九点共圆、多点共线、多线共点等问题，呈现出数学的奇异美。 证明不是太难，就是有点繁杂。
应该赞一下 提出这个命题的人！
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楼主的贴图好像有问题，待我有时间自己画一个图
我是用GeoGebra画的，顺便把画图文件也传上来
确实有些不可思议（定理中提到的面积并未在公式中出现）。
星空 给的答案 应该有问题。
因为，我从作图 看得出来 ，设 d^2= f(a,b,c) ，则 f(a,b,c) =f1(a-b,c) = f2(b-c,a) = f3(c-a,b)
即，a=b时， f(a,b,c) 只与c有关。
代入特征点得到：
a=b时， d^2= c^2/3
b=c时， d^2= a^2/3
c=a时， d^2= b^2/3
证明三线共点：t=PadRight[{a,b}/.First@Solve[{a x1+b y1+1==0,a x2+b y2+1==0},{a,b}]/.Thread[{x1,y1,x2,y2}->Flatten[{RotationMatrix[\].{x2-x1,y2-y1}+{x1,y1},{x3,y3}}]],3,1];
dd=Table,{3}];
TrigFactor@Det->Pi/3]令 theta =Pi/3 或者 -Pi/3 时，行列式均为0， 即“正等角中心” E,F是存在的
而且当且仅当theta=+-Pi/3 行列式才为0， 即只有正三角的情况下， 才会出现三线共点 画图检验：1#公式的确有误
d = 409.05, R = 418.66, a = 836.45, b = 684.37, c = 512.68
得到：d^2-(9*R^2-a^2-b^2-c^2)/(3*R^2*(1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/R^2))=-295.0396
那么，关于d公式到底是什么呢？
由于CAD画图及测量误差，经过理论计算
R=418.6484736,d=409.3391251,即陈都公式完全正确 经过计算：
d^2=M/N
其中
M=48*(a^4-2*a^2*b^2-2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)^2*(a^10-2*a^8*b^2-2*a^8*c^2+a^6*b^4+4*a^6*b^2*c^2+a^6*c^4+a^4*b^6-3*a^4*b^4*c^2-3*a^4*b^2*c^4+a^4*c^6-2*a^2*b^8+4*a^2*b^6*c^2-3*a^2*b^4*c^4+
4*a^2*b^2*c^6-2*a^2*c^8+b^10-2*b^8*c^2+b^6*c^4+b^4*c^6-2*b^2*c^8+c^10)*R^4
N=((sqrt(3)*a^3*b*c+sqrt(3)*a*b^3*c+sqrt(3)*a*b*c^3+3*R*a^4-6*R*a^2*b^2-6*R*a^2*c^2+3*R*b^4-6*R*b^2*c^2+3*R*c^4)^2*(sqrt(3)*a^3*b*c+
sqrt(3)*a*b^3*c+sqrt(3)*a*b*c^3-3*R*a^4+6*R*a^2*b^2+6*R*a^2*c^2-3*R*b^4+6*R*b^2*c^2-3*R*c^4)^2)
代入：
R = 418.64847, a = 836.45, b = 684.37, c = 512.68
计算得：d=409.3390976 数学星空 发表于 2013-7-23 23:38
经过计算：
其中
我检验了一下你的式子，发现 a=b时， d^2！= c^2/3
星空，你这个式子是咋得出来的 换了一种作图方式， 发现，命题可以推广：
将往内外做正三角形 改成 做 以三角形所在边为底边，底角为确定的theta 的 等腰三角形，则结论仍然成立。
角度theta变化的时候，E,F 的轨迹的并集 构成一条双曲线，(该双曲线经过三角形的三个顶点，以及其垂心和重心,五点确定一条圆锥曲线)。
即EF是双曲线的弦长！
三角形垂心H和重心G之间的这段 双曲线弧长 是E点的 运动范围，
除此之外的范围 均是 F点的运动轨迹。
太有意思了！
做每一个正三角形的外接圆，这个问题的本质将暴漏无疑,:)
E点是向外的正三角形外接圆的交点，F点是向内的正三角形的外接圆的交点