三角形正负等角中心间距

数学星空

陈都先生1998年得到以下结果：

我们的问题是如何得到此结果？

gxqcn

要说是如何得到如此复杂的公式？确实有些不可思议（定理中提到的面积并未在公式中出现）。

满天繁星，也很难找到同等亮度为顶点的正三角形或正方形（我小时候的观察体会），
但神奇的是，三角形里却有许多奇妙的性质，不断被人们发现，
比如说九点共圆、多点共线、多线共点等问题，呈现出数学的奇异美。

wayne

证明不是太难，就是有点繁杂。

应该赞一下 提出这个命题的人！

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楼主的贴图好像有问题，待我有时间自己画一个图



我是用GeoGebra画的，顺便把画图文件也传上来
chendu.ggb (8.64 KB, 下载次数: 3)

2013-7-23 22:22 上传

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wayne

确实有些不可思议（定理中提到的面积并未在公式中出现）。

星空 给的答案 应该有问题。
因为，我从作图 看得出来 ，  设 d^2= f(a,b,c) ，则 f(a,b,c) =f1(a-b,c) = f2(b-c,a) = f3(c-a,b)

即，a=b时， f(a,b,c) 只与c有关。

代入特征点得到：
a=b时， d^2= c^2/3
b=c时， d^2= a^2/3
c=a时， d^2= b^2/3

wayne

证明三线共点：

1. t=PadRight[{a,b}/.First@Solve[{a x1+b y1+1==0,a x2+b y2+1==0},{a,b}]/.Thread[{x1,y1,x2,y2}->Flatten[{RotationMatrix[\[Theta]].{x2-x1,y2-y1}+{x1,y1},{x3,y3}}]],3,1];
   
2. dd=Table[t=t/.Thread[{x1,x2,x3,y1,y2,y3}->{x2,x3,x1,y2,y3,y1}],{3}];
   
3. TrigFactor@Det[dd/.\[Theta]->Pi/3]

复制代码

令 theta =Pi/3 或者 -Pi/3 时，行列式均为0， 即“正等角中心”   E,F是存在的


而且当且仅当theta=+-Pi/3 行列式才为0， 即只有正三角的情况下， 才会出现三线共点

数学星空

画图检验：1#公式的确有误

$d = 409.05, R = 418.66, a = 836.45, b = 684.37, c = 512.68$
得到：$d^2-(9*R^2-a^2-b^2-c^2)/(3*R^2*(1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/R^2))=-295.0396$
那么，关于d公式到底是什么呢？

由于CAD画图及测量误差，经过理论计算
$R=418.6484736,d=409.3391251$,即陈都公式完全正确

数学星空

经过计算：
$d^2=M/N$
其中
$M=48*(a^4-2*a^2*b^2-2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)^2*(a^10-2*a^8*b^2-2*a^8*c^2+a^6*b^4+4*a^6*b^2*c^2+a^6*c^4+a^4*b^6-3*a^4*b^4*c^2-3*a^4*b^2*c^4+a^4*c^6-2*a^2*b^8+4*a^2*b^6*c^2-3*a^2*b^4*c^4+$
$4*a^2*b^2*c^6-2*a^2*c^8+b^10-2*b^8*c^2+b^6*c^4+b^4*c^6-2*b^2*c^8+c^10)*R^4$
$N=((sqrt(3)*a^3*b*c+sqrt(3)*a*b^3*c+sqrt(3)*a*b*c^3+3*R*a^4-6*R*a^2*b^2-6*R*a^2*c^2+3*R*b^4-6*R*b^2*c^2+3*R*c^4)^2*(sqrt(3)*a^3*b*c+$
$sqrt(3)*a*b^3*c+sqrt(3)*a*b*c^3-3*R*a^4+6*R*a^2*b^2+6*R*a^2*c^2-3*R*b^4+6*R*b^2*c^2-3*R*c^4)^2)$
代入：
$R = 418.64847, a = 836.45, b = 684.37, c = 512.68$
计算得：$d=409.3390976$

wayne

数学星空 发表于 2013-7-23 23:38
经过计算：

其中

我检验了一下你的式子，发现 a=b时， d^2！= c^2/3

星空，你这个式子是咋得出来的

wayne

换了一种作图方式， 发现，命题可以推广：

将  往内外做正三角形 改成 做 以三角形所在边为底边，底角为确定的theta 的 等腰三角形，则结论仍然成立。


角度theta变化的时候，E,F 的轨迹的并集 构成一条双曲线，(该双曲线经过三角形的三个顶点，以及其垂心和重心,五点确定一条圆锥曲线)。

即EF是双曲线的弦长！
三角形垂心H和重心G之间的这段 双曲线弧长 是E点的 运动范围，
除此之外的范围 均是 F点的运动轨迹。

太有意思了！

wayne

做每一个正三角形的外接圆，这个问题的本质将暴漏无疑,

E点是向外的正三角形外接圆的交点，F点是向内的正三角形的外接圆的交点