三角形正负等角中心间距

陈九章

葡萄糖

陈九章 发表于 2016-8-23 20:16

前几天，在计算费马点的时候，想利用此公式。
当时也是糊涂，没有注意到三角形的最大内角大于120度，就直接利用该公式。

\begin{align*}
\big|AF_{1}\big|=\dfrac{520}{7}&&\big|BF_{1}\big|=\dfrac{2775}{7}&&\big|CF_{1}\big|=\dfrac{1224}{7}
\end{align*}
现在才反应过来，三角形最大内角大于120度时，费马点不在等角中心上。
因此这导致直接用公式会得到负数值。所以还需要带上绝对值

\begin{align*}  
\begin{split}  
\left|AF_{2}\right|&=\dfrac{\Bigg|\sqrt{\,3}\,(b^2+c^2-a^2)+4\Delta\Bigg|\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}=\left|-\dfrac{520}{7}\right|\\  
\left|BF_{1}\right|&=\dfrac{\Bigg|\sqrt{\,3}\,(a^2+c^2-b^2)+4\Delta\Bigg|\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}=\left|\dfrac{2775}{7}\right|\\  
\left|CF_{1}\right|&=\dfrac{\Bigg|\sqrt{\,3}\,(a^2+b^2-c^2)+4\Delta\Bigg|\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}=\left|\dfrac{1224}{7}\right|\\
\\
4\Delta&=\sqrt{\big(a+b+c\big)\big(b+c-a\big)\big(a+c-b\big)\big(a+b-c\big)}\>\\
\\
&=6720\sqrt{3}
\end{split}
\end{align*}

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