三角形正负等角中心间距

数学星空

经过计算验证：
$d^2=(16*s^2*(9*R^2*p^2-2*p^4+8*R*p*s+2*s^2)*p^2)/(3*(p^8-8*R*p^5*s+16*R^2*p^2*s^2-14*p^4*s^2+8*R*p*s^3+s^4))$
$d^2=(a^6-a^4*b^2-a^4*c^2-a^2*b^4+3*a^2*b^2*c^2-a^2*c^4+b^6-b^4*c^2-b^2*c^4+c^6)/(3*(a^4-a^2*b^2-a^2*c^2+b^4-b^2*c^2+c^4))$
注：R为ABC的外接圆半径，p为ABC的半周长，s为ABC的面积

我的计算方法就是解析法求出E,F的坐标，然后转换成a,b,c的表达式
例：设$A(0,x),B(-y,0),C(z,0),$求出E,F的坐标，再计算EF长度，然后将
$x^2+y^2=c^2 $
$x^2+z^2=b^2$
$y+z=a$
反算出 $x,y,z$ （关于a,b,c的代数式）代入EF公式，化简即可。

wayne

数学星空 发表于 2013-7-24 23:50
经过计算验证：

昨天晚上我的网络出了问题。没及时回复。
我算出来的答案跟你的完全一致， 而且代入 a=b，可以得到 c^2/3，证实了前面画图时候发现的特点。

$d^2=(a^6-a^4 b^2-a^2 b^4+b^6-a^4 c^2+3 a^2 b^2 c^2-b^4 c^2-a^2 c^4-b^2 c^4+c^6)/(3 (a^4-a^2 b^2+b^4-a^2 c^2-b^2 c^2+c^4))$

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假设面积为 S， 利用Mathematica的PolynomialReduce 函数，发现有等价形式：
$d^2 =(9 a^2 b^2 c^2-16 S^2(a^2+b^2+c^2))/(3 (a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2-16 S^2))$

再变一下形状， 就得到楼主的公式了  

$d^2= (9 (a^2 b^2 c^2)/(16 S^2)-(a^2+b^2+c^2))/(3 ((a^2 b^2 c^2)/(16 S^2) (a^-2+b^-2+c^-2)-1)) = (9R^2-(a^2+b^2+c^2))/(3 R^2 (a^-2+b^-2+c^-2-R^-2))$

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wayne

我解此题的思路比较有意思，特贴出来：

在这里，我先定义这样的一个曲线 f： 给定两点 A (x1,y1), B (x2,y2) , 则曲线f 就是 对线段AB的张角的余弦值为1/2 的 点 P(x,y) 的轨迹。
说白了 就是 |PA*PB| =|PA|*|PB|*|cos∠APB|  
再说透了，就是 两个边长为AB的正三角形的外接圆的并集(给定两点A,B，分别向两侧做正三角形，然后做外接圆，记得曲线f。

那么对于三角形ABC， AB边对应一个曲线f ，BC边对应一个曲线g，那么f和g的交点 只有两点，分别是E,F，(其实应该是四个点，只是两外2点是重合的B点)

所以，我们只需要解方程 f=0,g=0 ,化简的时候消去一个变量x，将得到关于y的二次方程，然后我们不必解出来，根据韦达定理即可算出 (x_e-x_f)^2+(y_e-y_f)^2


另外还有一个技巧，如果设ABC三点坐标为(0,0)，(a,0), (b cost, b sint)则可以省去转化。
我最开始 是按(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)算的，为了图个对称性，却增加了复杂度。

1. p={x,y};pa={0,0};pb={a,0};pc={b Cos[\[Theta]],b Sin[\[Theta]]};
   
2. equations={((p-pa).(p-pb))^2==1/4Total[(p-pa)^2]Total[(p-pb)^2],((p-pa).(p-pc))^2==1/4Total[(p-pa)^2]Total[(p-pc)^2],((p-pc).(p-pb))^2==1/4Total[(p-pc)^2]Total[(p-pb)^2]};
   
3. xef=x/.Solve[equations,{x},{y}];
   
4. yef=y/.Solve[equations,{y},{x}];
   
5. ef=FullSimplify[(xef/.List->Subtract)^2+(yef/.List->Subtract)^2/.\[Theta]->ArcCos[(a^2+b^2-c^2)/(2a b)]]//Factor

复制代码

wayne

现在把问题改编一下，原先是分别向每边的两侧做正三角形，现在改成 向边的两侧作等腰三角形(底角的正切均为k,底边为所在的ABC的边)




则直线AA0,BB0,CC0仍然交于一点E，直线AA1,BB1,CC1仍然交于一点F：
EF的长度d的平方为：
$d^2={16 k^2((k^2+1)^2s_1^5-2 (k^2+1) (3 k^2+5) s_2 s_1^3+8 (k^2+1) (k^2+3) s_2^2 s_1-12 (k^2+3)^2 s_2 s_3+(7 k^4+18 k^2+27) s_3 s_1^2)}/{((k^2+1) (k^2+9) s_1^2-4 (k^2+3)^2 s_2)^2}$

其中
$s_1= a^2+b^2+c^2$
$s_2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
$s_3=a^2b^2c^2$

上面的式子可以仅用 $R$,$ S$ 和 $a^2+b^2+c^2 $来表达:

$(8 k^2 S^2 ((a^2+b^2+c^2)^2 (8 k^4 R^2+(1-k^4) (a^2+b^2+c^2))-16 (3+k^2) S^2 (6 (3+k^2) R^2-(1+k^2) (a^2+b^2+c^2))))/(4 (3+k^2)^2 S^2-k^2 (a^2+b^2+c^2)^2)^2$
代入k^2=3 , 得到 的答案 即是 正三角形的 结果:
$(64 S^2 ((a^2+b^2+c^2)-9 R^2))/(3 (48 S^2-(a^2+b^2+c^2)^2))$

wayne

数学星空 发表于 2013-7-24 23:50
经过计算验证：

用R,p,S 替换a,b,c来表达:

$d^2=-((16 p^2 S^2 (2 p^4-9 p^2 R^2-8 p R S-2 S^2))/(3 (p^8-8 p^5 R S-14 p^4 S^2+16 p^2 R^2 S^2+8 p R S^3+S^4)))$

1. q/.FullSimplify@Solve[{q==(a^6-a^4 b^2-a^2 b^4+b^6-a^4 c^2+3 a^2 b^2 c^2-b^4 c^2-a^2 c^4-b^2 c^4+c^6)/(3 (a^4-a^2 b^2+b^4-a^2 c^2-b^2 c^2+c^4)),a b c==4R S,2p==a+b+c,S^2==(p-a)(p-b)(p-c)p},{q},{a,b,c}]

复制代码

数学星空

wayne 发表于 2013-7-25 15:32
用R,p,S 替换a,b,c来表达好像跟星空的结果不一样呢

是因为a*b*c=4*R*S,而不是a*b*c=2*R*S

所以我在11#列出的公式是对的，并且陈都先生的公式也是对的。

7#的公式经过分解，化简与楼主公式也是等价的。

wayne

数学星空 发表于 2013-7-25 21:52
是因为a*b*c=4*R*S,而不是a*b*c=2*R*S

所以我在11#列出的公式是对的，并且陈都先生的公式也是对的。 ...

晕死，还好基本上不做什么改动

数学星空

对于14#的一般表达式：
可以简化为类似于楼主公式
$d^2=16*k^2*((-2*N*R^4+2*M*N*R^2+M)*k^4-2*M*k^2+18*N*R^4-2*M*N*R^2-3*M)/(16*N*R^2*k^2-(k^2-3)^2)^2$
其中$M=9*R^2-(a^2+b^2+c^2)$
      $ N=1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/R^2$

wayne

数学星空 发表于 2013-7-26 00:08
对于14#的一般表达式：
可以简化为类似于楼主公式

不知道是否还有更简单的表达。
用最少的项 来表达d^2

wayne

用GeoGebra玩了一下轨迹图.
以三角形其中两边对外接圆圆心O的张角作为变量,  还有一个变量 是对内对外所做等腰三角形的底角角度,
画出的E，F的轨迹图形状有好几种，如下